Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={DM de math�matiques: probabilit�s - g�om�trie - Complexes},
pdftitle={Devoir de math�matiques: probabilit�s - g�om�trie - Complexes},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S,
probabilit�s, g�om�trie, g�om�trie dans l'espace,
complexes, nombres complexes,
exercices, bac, baccalaur�at, type BAC}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
\nopagebreak%
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.9cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex {\it (D'apr�s Bac 2003)}
L'espace est rapport� � un rep�re orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonn�es respectives
$A(3;-2;2)$,
$B(6;1;5)$,
$C(6;-2;-1)$ et
$D(0;4;-1)$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
\vspd
\item[2.] Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan
$(ABC)$.
\vspd
\item[3.] Calculer le volume du tr�tra�dre $ABCD$.
\vspd
\item[4.] Montrer que l'angle g�om�trique $\widehat{BDC}$ a pour
mesure $\dfrac{\pi}{4}$ en radians.
\vspd
%\item[5.]
% \bgit
% \item[a.] Calculer l'aire du triangle $BDC$.
% \vsp
% \item[b.] En d�duire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$.
% \enit
\enit
\enex
\bgex %{\bf ROC}\ {\it (D'apr�s Bac 2005)}
%\vsp
\ul{\bf Partie A.}
\ul{Pr�requis.} On rappelle que:
\bgen[1)]
\item Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul:
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
\item Pour $A$ et $B$ deux points quelconques,
on a: $AB^2=\V{AB}^2$.
\enen
\vspd
Soit $[KL]$ un segment de l'espace.
On note $I$ son milieu.
On appelle plan m�diateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ �
la droite $(KL)$.
\vsp
{\bf D�montrer} que le plan m�diateur de $[KL]$ est l'ensemble des
points de l'espace �quidistants des points $K$ et $L$.
%{\sl (Indication: on pourra s'int�resser � $KM^2-LI^2$)}
\vspd
\ul{\bf Partie B.} Dans un RON, on consid�re les points
$A(4;0;-3)$, $B(2;2;2)$ et $C(3;-3;-1)$.
\bgen
\item D�montrer que le plan $\mathcal{P}$ m�diateur de $[AB]$ a pour
�quation $4x-4y-10z-13=0$.
\item Donner une repr�sentation param�trique de la droite $(AC)$ et
d�terminer les coordonn�es du point d'intersection de la droite
$(AC)$ et du plan $\mathcal{P}$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item R�soudre le syst�me suivant d'inconnues complexes z et z' :
$\la
\bgar{lcl}
z+\text{i}z'&=&-1
\\
z-z'&=&2+\text{i}
\enar\right.
$.
On donnera les solutions sous forme alg�brique.
\item Le plan complexe est rapport� � un rep�re orthonornial
$(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unit� graphique 3 cm.
\bgen[a)]
\item Placer dans le plan les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes
respectives
$z_A = - 1, z_B = 2i$ et $z_C = -2 + i$.
\item Calculer les modules des nombres complexes :
$z_B - z_C$ et $z_B - z_A$.
Donner une interpr�tation g�om�trique de ces r�sultats.
\item On note I le milieu du segment [AC]. Pr�ciser l'affixe du point
I puis calculer la distance BI.
\item D�terminer l'aire en cm$^2$ du triangle $ABC$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
On consid�re le polyn�me complexe $P$ d�fini par:
\[P(z)=z^3-(3+i)z^2+2(3+i)z-4(1+i)\ .\]
\bgen
\item V�rifier que $1+i$ est une racine de $P$.
\item D�terminer deux nombres r�els $p$ et $q$ tels que, pour tout
$z\in\C$,
$P(z)=\lp z-(1+i)\rp\lp z^2-pz+q\rp$.
\item D�terminer alors dans $\C$ toutes les solutions de l'�quation
$P(z)=0$.
\item Ecrire ces solutions sous formes exponentielle et
trigonom�trique.
\enen
\enex
\bgex
Le plan est rapport� au rep�re orthonormal
$\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$.
A tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$
d'affixe $z'$ tel que
$z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}$.
On d�finit la fonction $f$ par $f(M)=M'$.
\bgen
\item On consid�re les points $A$, $B$ et $C$ d'affixces respectives
$z_A=1+2i$, $z_B=1$ et $z_C=3i$.
D�terminer les affixes des points $A'$, $B'$ et $C'$ images
respectives de $A$, $B$ et $C$ par $f$.
Placer les points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$ et $C'$.
\item On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ r�els.
D�terminer la partie r�elle et la partie imaginaire de $z'$ en
fonction de $x$ et $y$.
\item Montrer que l'ensemble des points $M$ invariants par $f$ est la
droite $(D)$ d'�quation $y=\dfrac12 x$.
Tracer $(D)$. Quelle remarque peut-on faire ?
\item Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par $f$.
Montrer que $M'$ appartient � $(D)$.
\enen
\enex
\bgex
Plusieurs articles scientifiques sugg�rent que l'exposition du
f\oe tus � la fum�e de cigarette augmente le risque de surpoids
pendant l'enfance.
Une �tude men�e en France aupr�s de 23\,000 enfants de 5 et 6 ans
estime que la proportion d'enfants ob�ses est de 3,1\,\%.
Pour �valuer l'association entre le tabagisme maternel durant la
grossesse et le risque d'ob�sit� de l'enfant � l'�ge 5-6 ans, 1335
m�res ayant continu� � fumer pendant leur grossesse ont �t� choisies
de fa�on al�atoire.
On a observ� 54 enfants ob�ses � l'�ge de 5-6 ans.
A l'aide de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de
95\,\%, que peut-on en conclure au sujet de l'affirmation
"la fum�e de cigarette augmente le risque de surpoids pendant
l'enfance".
\enex
\bgex
Une entreprise $A$ est sp�cialis�e dans la fabrication en s�rie d'un
article.
Un contr�le de qualit� montre que chaque article produit par
l'entreprise $A$ peut pr�senter deux types de d�faut ind�pendants:
un d�faut de soudure avec une probabilit� �gale � 0,03 et un d�faut de
sur un composant �lectronique avec une probabilit� �gale � 0,02.
Un article est dit d�fectueux s'il pr�sente au moins l'un des deux
d�fauts.
\bgen
\item Montrer que la probabilit� qu'un article fabriqu� par
l'entreprise $A$ soit d�fectueux est �gale � $0,0494$.
\item Une grande surface re�oit 800 articles de l'entreprise $A$.
Soit $X$ la variale al�atoire qui � cet ensemble de 800 articles
associe le nombre d'articles d�fectueux.
D�finir la loi de $X$. Calculer l'esp�rance de $X$.
Quel est le sens de ce nombre ?
\item Un petit commer�ant passe une commande de 25 articles �
l'entreprise $A$.
\bgen[a)]
\item Calculer, � $10^{-3}$ pr�s, la probabilit� qu'il y ait au
moins 2 articles d�fectueux dans sa commande.
\item Il veut que sur sa commande la probabilit� d'avoir au moins un
article d�fectueux reste inf�rieure � 50\,\%.
D�terminer la valeur maximale du nombre $n$ d'articles qu'il peut
commander.
\enen
\item La variable al�atoire $Y$, qui � tout article fabriqu� par
l'entreprise, associe sa dur�e de vie en jours.
$Y$ suit une loi exponentielle de param�tre $0,0007$.
\vsp
Calculer la probabilit�, � $10^{-3}$ pr�s, qu'un tel article
ait une dur�e de vie comprise entre 700 et 1000 jours.
\enen
\enex
\bgex
Une entreprise fabrique des billes en verre de couleur, destin�es
ensuite � constituer des colliers ou des bracelets.
Le diam�tre des billes produites est une variable al�atoire $D$,
exprim�e en millim�tres, qui suit la loi normale d'esp�rance 8
(diam�tre th�orique de la production) et d'�cart-type 0,4.
Toute bille produite est contr�l�e en passant dans deux calibres, l'un
de 8,5 et l'autre de 7,5: elle est accept�e si elle est assez petite
pour passer dans le calibre de 8,5 et si, ensuite, elle est ssez
grande pour ne pas passer celui de 7,5.
\bgen
\item Quelle est la probabilit� qu'une bille soit accept�e ?
\item Quelle est la probabilit� qu'une bille ne passe pas le premier
calibre ?
\item Quelle est la probabilit� qu'une bille ayant pass� le premier
calibre passe le second calibre ?
\item On consid�re qu'une bille trop petite, qui passe les deux
calibres, est d�finitivement perdue. La perte financi�re est estim�e
� 0,1 euro.
En revanche une bille trop grande, qui ne passe pas le premier
calibre, est r�cup�r�e dans un dispositif qui la r�duit par pon�age
puis est accept�e apr�s cette rectification; le co�t de cette
rectification est de 0,03 euro.
\vsp
Soit $Z$ la variable al�atoire �gale au co�t de rectification d'une
bille.
Donner la loi de probabilit� de $Z$ et calculer son esp�rance.
\enen
\enex
\bgex
On d�finit la suite $(u_n)$ par $u_0=13$ et, pout tout entier
$n\geqslant 1$,
$u_{n+1}=\dfrac15 u_n+\dfrac45$.
\bgen
\item \bgmp[t]{7.5cm}
Compl�ter l'algorithme qui permet de calculer le terme de rang
$n$ de la suite $(u_n)$ o� $n$ est un entier naturel choisi par
l'utilisateur.
\enmp\hfill
\fbox{
\bgmp[t]{8cm}
{\bf VARIABLES}\\
$u$, $n$, $i$ sont des nombres\\[0.3cm]
{\bf DEBUT DE L'ALGORITHME}\\
Lire $n$\\
$u$ prend la valeur \dotfill\\
Pour $i$ allant de 1 � $n$ \\
\hspace*{0.4cm} DEBUT POUR \\
\hspace*{0.4cm} $u$ prend la valeur \dotfill\\
\hspace*{0.4cm} FIN POUR\\
Afficher $u$
{\bf FIN DE L'ALGORITHME}
\enmp
}
\item A l'aide cet algorithme, calculer une valeur approch�e de $u_5$
et $u_{10}$.
\item Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
\item Montrer par r�currence que, pour tout entier naturel $n$,
$u=1+\dfrac{12}{5^n}$.
En d�duire la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgex
On d�finit, pour tout entier $n>0$, la suite $(u_n)$ de nombres r�els
strictement positifs par $u_n=\dfrac{n^2}{2^n}$.
\bgen
\item Pour tout entier $n>0$, on pose $v_n=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
\bgen[a.]
\item Montrer que $\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=\dfrac12$.
\item Montrer que pour tout entier $n>0$, $v_n>\dfrac12$.
\item Trouver le plus petit entier $N$ tel que, si $n\geqslant N$,
$v_n\leqslant \dfrac34$.
\item En d�duire que si $n\geqslant N$, alors
$u_{n+1}\leqslant \dfrac34 u_n$.
\enen
\item On pose, pour tout entier $n\geqslant 5$,
$S_n=u_5+u_6+\cdots+u_n$.
On se propose de d�montrer que la suite $(S_n)_{n\geqslant 5}$ est
convergente.
\bgen[a.]
\item Montrer par r�currence que, pour tout entier $n\geqslant 5$,
$u_n\leqslant \lp\dfrac34\rp^{n-5} u_5$.
\item Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 5$,
$S_n
\leqslant
\lb 1+\dfrac34+\lp\dfrac34\rp^2+\cdots+\lp\dfrac34\rp^{n-5}\rb u_5
$.
\item En d�duire que pour tout entier $n\geqslant 5$,
$S_n\leqslant 4u_5$.
\item Montrer que la suite $\lp S_n\rp_{n\geqslant 5}$ est
croissante et en d�duire qu'elle converge.
\enen
\enen
\enex
\end{document}
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