Source Latex
\documentclass[12pt]{article}
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices: de la terminale vers une prépa},
pdftitle={Exercices: de la terminale vers une prépa},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, prépa}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{%
\vspt\noindent%
\ul{Démonstration:} #1%
\hfill$\square$%
}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
%\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Réviser, approfondir son année de terminale}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE{} - $T^{\text{ale}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}\hfill
\medskip
\ct{\large\bf et préparer son entrée en prépa (et/ou ailleurs aussi)}
\setcounter{section}{3}
\setcounter{nex}{9}
\section{Complexes}
\bgex
\'Ecrire sous forme algébrique: \\
$A=\dfrac{3+6i}{3-4i}$ \qquad
$B=\lp\dfrac{1+i}i\rp^3$ \qquad
$C=\lp\dfrac{1+i}{2-i}\rp^2+\dfrac{1-7i}{4+3i}$ \qquad
$D=\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i}$ \qquad
\enex
\bgex
\'Ecrire sous forme exponentielle:\\
$A=\sqrt6+i\sqrt2$ \qquad
$B=\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^5$ \qquad
$C=\dfrac3{1-i}$ \qquad
$D=\dfrac{(1+i)^3}{1-i}+\dfrac{(1-i)^4}{(1-i)^2}$ \qquad
$E=\dfrac{(\sqrt6-i\sqrt2)(1+i)}{1-i}$
\enex
\bgex
On consid\`ere le nombre complexe $z=\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp$.
\bgen
\item Ecrire $z^2$ sous forme alg\'ebrique.
\item D\'eterminer le module et la mesure principale de l'argument de $z$.
\enen
\enex
\bgex
Pour quels entiers naturels $n$, $\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^n$ est-il réel ?
\enex
\bgex
Montrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a
\[|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\lp|z|^2+z'|^2\rp\]
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que
\[|z-i|=|z+i|\]
par deux méthodes: algébrique, en écrivant la forme algébrique $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, et géométrique en interprétant géométriquement les modules.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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