@ccueil Colles

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Nombres complexes


Pour reprendre à la base, voir là par exemple.
Exercice 10
Écrire sous forme algébrique:
$A=\dfrac{3+6i}{3-4i}$      $B=\lp\dfrac{1+i}i\rp^3$      $C=\lp\dfrac{1+i}{2-i}\rp^2+\dfrac{1-7i}{4+3i}$      $D=\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i}$     

$A=-\dfrac35+\dfrac65i$

$B=-2-2i$

$C=-1-i$

$D=-3$
Voir pour des précisions, d'autres exercices corrigés


Exercice 11
Écrire sous forme exponentielle:
$A=\sqrt6+i\sqrt2$      $B=\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^5$      $C=\dfrac3{1-i}$      $D=\dfrac{(1+i)^3}{1-i}+\dfrac{(1-i)^4}{(1-i)^2}$      $E=\dfrac{(\sqrt6-i\sqrt2)(1+i)}{1-i}$

$A=2\sqrt2e^{i\frac\pi6}$

$B=A^5=2^7\sqrt2e^{\dfrac{5i\pi}6}$

$C=\dfrac3{\sqrt2}e^{i\frac\pi4}$

$D=2\sqrt2e^{\frac{5i\pi}4}$

$E=2\sqrt2e^{i\frac\pi3}$

Exercice 12
On considère le nombre complexe $z=\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp$.
  1. Ecrire $z^2$ sous forme algébrique.
  2. Déterminer le module et la mesure principale de l'argument de $z$.

  1. $z^2=4\sqrt3+4i$
  2. On a donc, $\left|z^2\right|=8=|z|^2$ donc $|z|=2\sqrt2$.

    Pour l'argument, $\arg\lp z^2\rp=2\arg(z)=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\Z$. donc $\arg\lp z\rp=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$, d'où $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}$ ou $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}-\pi=-\dfrac{11\pi}{12}$.
    Comme la partie réelle de $z$ est positive $\lp\Re e(z)=\sqrt3+1\rp$, on a nécessairement $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}$.

Exercice 13
Pour quels entiers naturels $n$, $\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^n$ est-il réel ?

On passe par la forme exponentielle, et on obtient qu'il s'agit d'un nombre réel si et seulement si $n$ est un multiple de 6.

Exercice 14
Montrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a
\[|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\lp|z|^2+z'|^2\rp\]


La définition $|z|^2=z\overline{z}$, donc aussi $|z+z'|=(z+z')\overline{(z+z')}$ et $|z-z'|=\dots$, permet de développer et de mener les calculs...

On peut aussi revenir à la forme algébrique $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ et calculer séparemment les deux côtés de l'égalité pour s'apercevoir qu'ils sont bien égaux.

Exercice 15
Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que
\[[z-i|=|z+i|\]
par deux méthodes: algébrique, en écrivant la forme algébrique $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, et géométrique en interprétant géométriquement les modules.

Méthode algébrique: on aboutit à $y=0$ qui est l'équation (de droite) de l'axe des abscisses

Méthode géométrique: on pose $M(z)$, $A(i)$ et $B(-i)$, alors l'équation se réécrit géométriquement $AM=BM$ et l'ensemble des points $M$ recherchés est excatement la médiatrice de $[AB]$ qui est l'axe des abscisses.



Voir aussi: