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Exercice type Bac


Suite, logarithme, limites


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L'objectif de ce problème est l'étude de la suite définie par, pour tout entier non nul,  
  1. Question de cours. Déterminer la limite:   .

  2. Etude d'une fonction auxiliaire. On considère la fonction définie sur par l'expression
    1. Déterminer la dérivée de la fonction .

    2. Déterminer la limite en et en de .
    3. Démontrer que la dérivée de la fonction s'écrit . En déduire alors le sens de variation de la fonction .
    4. Déduire des questions précédentes le signe de et le sens de variation de la fonction .
    5. On pose . Donner l'expression de , puis la limite .
      En déduire . Interpréter graphiquement ce résultat.
    6. En utilisant les résultats précédents, tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction .
  3. Etude de la suite .
    1. Exprimer le terme général , pour un entier naturel non nul, à l'aide de la fonction .
    2. En déduire le sens de variation de la suite ainsi que sa limite.




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