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Nombres et plan complexes
Les exercices fondamentaux à connaître


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Table des matières




Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle


Exercice 1: Ecrire sous forme algégbrique les nombres complexes suivants:
  1. $ z_1=(1+2i)(-2+i)$
  2. $ z_2=(1+2i)(1-2i)$

  3. $ z_3=\dfrac{2}{1+i}$

  4. $ z_4=\dfrac{2i}{3-2i}$

  5. $ z_5=\dfrac{2+i}{2-i}$

  6. $ z_6=\dfrac{2+3i}{-2+i}$

  7. $ z_7=\dfrac{2i}{(1-i)(1+2i)}$

  8. $ z_8=2e^{i\pi}$

  9. $ z_9=4e^{i\frac{\pi}{4}}$

  10. $ z_{10}=2e^{i\frac{\pi}{3}} e^{i\frac{5\pi}{6}}$


Exercice 2: Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants:
  1. $ z_1=(1+3i)(5-i)$

  2. $ z_2=(2+i)^2$

  3. $ z_3=\dfrac{1+3i}{4+2i}$


Exercice 3: Ecrire les nombres complexes suivants sous formes trigonométrique et exponetielle
  1. $ z_1=1+i$


  2. $ z_2=1-i\sqrt{3}$


  3. $ z_3=\dfrac{1+i}{1-i\sqrt{3}}$



Résolution d'équations


Exercice 4: Déterminer $ z\in{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}$ tel que     $ (1+2i)z+2=3z-2i$.


Exercice 5: Déterminer $ z\in{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}$ tel que     $ (1+i)\overline{z}+2=-z+i$.


Exercice 6: Résoudre dans $ {\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}$ l'équation du second degré:
  1. $ z^2+25=0$

  2. $ z^2+8=0$

  3. $ z^2-z+1=0$

  4. $ z^2-5z+4=0$

  5. $ \dfrac49 z^2-\dfrac43 z+1=0$

  6. $ 2z^2+3z+5=0$



Puissance d'un nombre complexe


Exercice 7:
  1. Calculer la forme algébrique de $ i^2$, $ i^3$, $ i^4$, $ i^{123}$, $ i^{2013}$.
  2. Ecrire sous forme algébrique la somme: $ S=1+i+i^2+i^3+\dots+i^{2012}$ .


Exercice 8: On pose $ j=-\dfrac12+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}$. Déterminer la forme algébrique de $ j^{29}$.


Détermination d'ensembles de points dans le plan complexe


Exercice 9: Déterminer l'ensemble des points $ M$ d'affixe $ z$ vérifiant $ \vert z-i\vert=\vert z+1\vert$.


Exercice 10: Déterminer l'ensemble des points $ M$ d'affixe $ z$ tels que
$\displaystyle \vert z-1+2i\vert=\vert-3+4i\vert .$


Exercice 11: Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble $ E$ des points $ M$ d'affixe $ z$ tels que $ Z=z^2+\overline{z}$ soit réel.


Exercice 12: Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble $ E$ des points $ M$ d'affixe $ z$ tels que $ Z=(1+z)(i+\overline{z})$ soit réel.



Exercices complets type Bac



Exercice 13: Le plan complexe est muni d'un repère $ \left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère la suite de points $ \left(M_n\right)$ et la suite des affixes $ \left(z_n\right)$ définies par:
$\displaystyle z_0=8 $     et, pour tout entier  $\displaystyle n,\
	  z_{n+1}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{4} z_n $

  1. Calculer le module et un argument du nombre complexe $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{4}$. L'écrire sous forme trigonométrique.


  2. Calculer $ z_1$, $ z_2$ et $ z_3$ et vérifier que $ z_3$ est réel.


  3. Pour tout nombre entier naturel $ n$:
    a. calculer le rapport $ \dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}}$;


    b. en déduire que le triangle $ OM_nM_{n+1}$ est rectangle et que $ \vert z_{n+1}-z_n\vert=\sqrt{3}\vert z_{n+1}\vert$.


Exercice 14: Le plan complexe est muni d'un repère $ \left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $ f$ la fonction qui, à tout point $ M$ d'affixe $ z\not=1$, associe le point $ M'$ d'affixe $ z'$ telle que:
$\displaystyle z'=f(z)=\dfrac{-iz-2}{z+1} .$

On se propose de rechercher, de deux manières différentes, l'ensemble $ (E)$ des points $ M$ tels que $ M'$ appartient à l'axe des abscisses, privé de $ O$.

A - Méthode analytique

$ x$ et $ y$ désignent deux nombres réels tous les deux non nuls.
  1. Développer l'expression $ \left(x+\dfrac12\right)^2+\left(y-1\right)^2$.


  2. On pose $ z=x+iy$. Exprimer $ \Im m(z')$ en fonction de $ x$ et $ y$.


  3. En déduire l'ensemble $ (E)$ des points $ M$ lorsque $ M'$ appartient à l'axe des abscisses, privé de $ O$.

B - Méthode géométrique


  1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $ z\not=1$,
    $\displaystyle z'=-i\omega ,$ où  $\displaystyle \omega=\dfrac{z-2i}{z+1}  .$


  2. $ A$ et $ B$ sont les points d'affixes respectives $ 2i$ et $ -1$.
    Donner une interprétation géométrique d'un argument de $ \omega$, lorsque $ z\not=2i$.


  3. Exprimer $ \arg\left(z'\right)$ en fonction de $ \arg(\omega)$.


  4. Déduire de ce qui précède l'ensemble $ (E)$.