Exercices: Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle Résolution d'équations Puissance d'un nombre complexe Détermination d'ensembles de points dans le plan complexe Exercices complets type Bac Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle Exercice 1: Écriture sous forme algébrique Écrire sous forme algégbrique les nombres complexes suivants: z1 = (1 + 2i)(−2 + i) z1 = (1 + 2i)(1 − 2i) z3 = 2/1 + i z4 = 2i/3 − 2i z5 = 2 + i/2 − i z6 = 2 + 3i/−2 + i z7 = 2i/(1 − i)(1 + 2i) z8 = 2eiπ z9 = 2eiπ/4 z9 = 2eiπ/3ei5π/6 Exercice 2: Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants: z1 = (1 + 3i)(5 − i) z2 = (2 + i)2 z3 = 1 + 3i/4 + 2i Exercice 3: Écrire les nombres complexes suivants sous formes trigonométrique et exponentielle z1 = 1 + i z2 = 1 − i3 z3 = 1 + i/1 − i3 Résolution d'équations Exercice 4: Déterminer z∈C tel que (1 + 2i)z + 2 = 3z − 2i Exercice 5: Déterminer z∈C tel que (1 + i)z + 2 = −z + i Exercice 6: Résoudre dans C l'équation du second degré: z2 + 25 = 0 z2 + 8 = 0 z2 − z + 1 = 0 z2 − 5z + 4 = 0 4/9z2 − 4/3z + 1 = 0 2z2 + 3z + 5 = 0 Puissance d'un nombre complexe Exercice 7: Calculer la forme algébrique de i2, i3, i4, i123, i2013. Ecrire sous forme algébrique la somme: S = 1 + i + i2 + i3 + … + i 2012 Exercice 8: On pose j = −1/2 + i3/2 . Déterminer la forme algébrique de j39. Détermination d'ensembles de points dans le plan complexe Exercice 9: Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant z − i = z + 1 Exercice 10: Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z − 1 + 2i = −3 + 4i Exercice 11 Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z tels que Z = z2 + z soit réel. Exercice 12 Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z tels que Z = (1 + z)(i + z) soit réel. Exercices complets type Bac Exercice 13: Le plan complexe est muni d'un repère (O; u, v ). On considère la suite de points (Mn) et la suite des affixes (zn) définies par: z0 = 8 et, pour tout entier n, zn+1 = 1+i3/4zn Calculer le module et un argument du nombre complexe 1+i3/4 . L'écrire sous forme trigonométrique. Calculer z1, z2 et z3, et vérifier que z3 est réel. Pour tout nombre entier naturel n: a. calculer le rapport zn+1 − zn/zn+1 b. en déduire que le triangle OMnMn+1 est rectangle et que zn+1 − zn = 3zn+1 Exercice 14: Le plan complexe est muni d'un repère (O; u, v ). On note f la fonction qui, à tout point M d'affixe z≠−1, associe le point M' d'affixe z' telle que: z' = f (z) = −iz − 2/z + 1 On se propose de rechercher, de deux manières différentes, l'ensemble (E) des points M tels que M' appartient à l'axe des abscisses, privé de O. A - Méthode analytique x et y désignent deux nombres réels tous les deux non nuls. Développer l'expression x + 1/22 + (y − 1)2 On pose z = x + iy. Exprimer Im(z') en fonction de x et y. En déduire l'ensemble (E) des points M lorsque M' appartient à l'axe des abscisses, privé de O. B - Méthode géométrique Démontrer que, pour tout nombre complexe z≠−1, on a z' = −iω où ω = z − 2i/z + 1 A et B sont les points d'affixes respectives 2i et −1. Donner une interprétation géométrique d'un argument de ω lorsque z≠2i. Exprimer arg(z') en fonction de arg(ω) Déduire de ce qui précède l'ensemble (E). Voir aussi Cours et exercices corrigés sur les nombres complexes Version pdf