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Probabilités - Exercices corrigés

Y. Morel


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Exercice 1 Soit $ X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $ [-5;15]$ . Calculer:

a) $ P\lp X\leqslant 2\rp$

b) $ P\lp -1\leqslant X\leqslant 1\rp$

c) $ P_{\lp X\geqslant 0\rp}\lp -1\leqslant X\leqslant 2\rp$

d) Soit $ Y$ la variable aléatoire égale à $ \dfrac{X+5}{10}$ . Calculer $ P_{\lp X\leqslant 10\rp}\lp Y\geqslant 1\rp$ .




Exercice 2 Soit $ X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $ \lambda =3$ . Calculer:

a) $ P\lp X\leqslant 2\rp$

b) $ P\lp X\geqslant 4\rp$

c) $ P\lp 2\leqslant X\leqslant 4\rp$

d) $ P_{\lp X\geqslant 2\rp}\lp X\geqslant 4\rp$

e) $ P_{\lp X\geqslant 122\rp}\lp X\geqslant 124\rp$

f) Soit deux réels $ a>0$ et $ h>0$ . Montrer que la probabilité $ P_{\lp X\geqslant a\rp}\lp X\geqslant a+h\rp$ ne dépend pas de $ a$ .



Exercice 3 Soit $ X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $ \mathcal{N}\lp 500;20^2\rp$ .

Pour $ Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite , on note et donne $ a=P\lp Z\leqslant 0\rp$ , $ b=P\lp Z\leqslant 0,5\rp\simeq, 0,6915$ , $ c=P\lp Z\leqslant 1\rp\simeq 0,8413$ , $ d=P\lp Z\leqslant 2\rp\simeq 0,9772$ ,

Exprimer en fonction de $ a$ , $ b$ , $ c$ et $ d$ , puis donner une valeur approchée de:

a) $ P\lp X\leqslant 520\rp$

b) $ P\lp X\geqslant 540\rp$

c) $ P\lp 460\leqslant X\leqslant 540\rp$

d) $ P_{\lp X\geqslant 500\rp}\lp X\leqslant 510\rp$



Exercice 4 Soit $ X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $ \mathcal{N}\lp 200; 15^2\rp$ .

Déterminer le réel $ u>0$ tel que $ P\lp 200-2u\leqslant X \leqslant 200+2u\rp = 0,9$ .



Exercice 5 Soit $ X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $ \mathcal{N}\lp \mu; \sigma^2\rp$ .

On donne $ \mu=E(X)=120$ .

Déterminer l'écart-type $ \sigma$ tel que $ P\lp 100\leqslant X \leqslant 140\rp=0,92$ .



Exercice 6 Surréservation d'une compagnie aérienne

Une compagnie utilise des avions d'une capacité de 320 passagers. Une étude statistique montre que 5 passagers sur 100 ayant réservé ne se présente pas à l'embarquement. On considérera ainsi que la probabilité qu'un passager ayant réservé ne se présente pas à l'embarquement est de 0,05.

  1. La compagnie accepte 327 réservations sur un vol.

    Soit $ X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.

    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $ X$ ?

    b. Par quelle loi normale peut-on approcher la loi de $ X$ ? Les paramètres de la loi seront déterminés à $ 10^{-2}$ près.

    c. En utilisant l'approximation par la loi normale, calculer $ P(X\leqslant 320)$ .

    Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327 réservations soit important ?

  2. Serait-il raisonnable pour la compagnie d'accepter sur ce même vol 330 réservations ? 335 réservations ?

  3. La compagnie accepte 337 réservation sur ce même vol d'une capacité de 320 passagers.

    310 personnes sont déjà présentes à l'embarquement. Quelle est la probabilité que moins de 320 personnes se présentent en tout à l'embarquement ?



Exercice 7 Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité.

On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note $ X$ la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe sa masse. On admet que $ X$ suit la loi normale de moyenne 700 g et d'écart type 20 g.

  1. Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont acceptées à la cuisson.

    Quelle est la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson ?

  2. Déterminer le réel positif $ h$ afin que l'on ait: $ P(700-h\leqslant X\leqslant 700+h)\geqslant 0,95$ .

    Enoncer ce résultat à l'aide d'une phrase.

  3. On admet que 8% des boules sont refusées à la cuisson. On prélève au hasard, successivement et avec remise, $ n$ boules dans la production. On note $ Y_n$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de $ n$ boules, associe le nombre de boules qui seront refusées à la cuisson. Cette variable aléatoire $ Y_n$ suit une loi binomiale.

    Dans le cas $ n=10$ ,

    a. calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la cuisson;

    b. calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, au moins 7 boules acceptées à la cuisson.



Exercice 8 Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte des pages de texte, chaque page étant représentée par 100000 bits.

La probabilité pour qu'un bit soit erroné est estimé à 0,0001 et on admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres.

Partie A. Soit $ X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'erreurs lors de la transmission d'une page.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $ X$ ?

    Calculer la moyenne et l'écart type de $ X$ .

  2. On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale de paramètres $ m=10$ et $ \sigma=\sqrt{10}$ . Dans ces conditions, déterminer la probabilité pour qu'une page comporte au plus 15 erreurs.

Partie B. Pour corriger les erreurs commises à la suite de la transmission d'une page, on transmet cette page autant de fois qu'il le faut jusqu'à l'obtention d'une page sans erreur.

Soit $ Y$ la variable aléatoire égale au nombre de transmissions (d'une même page) nécessaires pour obtenir une page sans erreur. On suppose que $ p=0,05$ est la probabilité de transmission d'une page sans erreur et $ q=1-p$ est la probabilité de transmission d'une page avec erreur.

On admet que $ Y$ suit la loi de probabilité $ P$ définie par $ P(Y=n)=pq^{n-1}$ ; pour tout $ n$ entier naturel non nul.

a. Calculer $ P(Y\leqslant 5)$ .

b. Montrer que pour tout entier $ n\geqslant1$ , $ P(Y\leqslant n)=1-q^n$ .



Exercice 9 On souhaite connaître le nombre de poissons vivants dans un lac clos. Pour cela, on prélève 500 poissons au hasard dans ce lac, on les marque puis on les relâche dans le lac.

Quelques jours plus tard, on prélève à nouveau aléatoirement 500 poissons dans le lac. Parmi ces 500 poissons, on en compte 24 qui sont marqués.

On suppose que pendant la période d'étude le nombre $ N$ de poissons dans le lac est stable.

  1. Quelles sont les proportions $ p$ et $ p'$ de poissons marqués dans l'échantillon prélevé et dans le lac ?

  2. Donner, à $ 10^{-3}$ près, l'intervalle de confiance au niveau de 95% de la proportion de poissons marqués dans le lac.

  3. En déduire un encadrement de la proportion du nombre de poissons dans le lac puis du nombre de poissons dans le lac.

  4. On considère que la population de poissons est trop importante pour le lac (dimensions, ressources, ...) lorsqu'il y a plus de 50000 poissons qui y vivent.

    En supposant que la proportion $ p$ de poissons marqués reste la même dans un échantillon prélevé de plus grande taille, quelle devrait-être cette taille pour que l'on puissse affirmer, au niveau de confiance de 95%, que le lac n'est pas surpeuplé en poissons ?