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Suites: récurrences et limites

Corrigés des exercices


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Exercice 1 Déterminer dans chacun des cas la limite de la suite $ (u_n)$ :

a) $ u_n=\dfrac{2n+1}{n+325}$

b) $ u_n=\dfrac{2n^2-3n+2}{1-n}$

c) $ u_n=\dfrac{4n^2+1}{n(2n+1)}$

d) $ u_n=\dfrac{3}{2\sqrt{n}+17}$

e) $ u_n=\dfrac{\sqrt{3n+1}}{3+\sqrt{n}}$

f) $ u_n=\dfrac{\sqrt{n^2+n+2}}{\sqrt{n^2-n-1}}$

g) $ u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

h) $ u_n=\sqrt{n^2+n}-n$




\fbox{
	  \begin{minipage}{16cm}
	  {\bf Rappel:} Schéma général d'une démonstration p...
	  ...tout entier $n$},
	  la propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie.
	  \par
	  \end{minipage}}


Exercice 2 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=2$ et, pour tout entier $ n$ , $ u_{n+1}=5u_n+4$ .

Montrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_n>0$ .





Exercice 3 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=-3$ et, pour tout entier $ n$ , $ u_{n+1}=5-4u_n$ .

Montrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_n=\left(-4\right)^{n+1}+1$ .



Exercice 4 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=\dfrac12$ et, pour tout entier $ n$ , $ u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}$ .
Montrer que, pour tout entier $ n$ , $ 0<u_n<1$ .


Exercice 5 Montrer que, pour tout entier $ n\geqslant$ 1 ,      $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k\times k!=(n+1)!-1$ .


Exercice 6 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=1$ , $ u_1=2$ et, pour tout $ n\in{\rm I\kern-.1567em N}$ , $ u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ .

Calculer $ u_2$ , $ u_3$ et $ u_4$


Démontrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_n=2^n$ .



Exercice 7 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=1$ et, pour tout entier $ n$ , $ u_{n+1}=\dfrac14 u_n+3$ .
  1. Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction $ f:x\mapsto \dfrac14 x+3$ , puis placer les points $ A_0$ , $ A_1$ , $ A_2$ et $ A_3$ d'ordonnée nulle et d'abscisse respective $ u_0$ , $ u_1$ , $ u_2$ et $ u_3$ .

  2. Montrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_nleqslant 4$ .

  3. Montrer par récurrence que la suite $ (u_n)$ est croissante.

  4. En déduire que la suite $ (u_n)$ est convergente.



Exercice 8 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ u_0=1$ et, pour tout entier $ n$ , u_{n+1}=\sqrt{u_n+1} .

  1. Calculer les quatre premiers termes de la suite, et conjecturer le sens de variation de la suite $ (u_n)$ .

    Démontrer cette conjecture.

  2. Montrer que, pour tout entier $ n$ , $ 0<u_n\leslant3$ .

  3. En déduire que la suite $ (u_n)$ est convergente vers une limite $ l$ .

  4. Déterminer $ l$ .


Exercice 9 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ \left\{\begin{array}{ll}
u_0=1 \\
\text{pour tout entier } n,  u_{n+1}=\dfrac13 u_n+n-2
\end{array}\right.
$ .

  1. Calculer $ u_1$ , $ u_2$ et $ u_3$ .

  2. Montrer que, pour tout $ n\geqslant 4$ , $ u_n\geqslant 0$ .

  3. En déduire que, pour tout $ n\geqslant 5$ , $ u_n\geqslant n-3$ .

  4. En déduire la limite de la suite $ (u_n)$ .


Exercice 10 Soit, pour tout entier $ n$ , $ u_n=\dfrac{\cos(n)}{n+1}$ .
Montrer que pour tout entier $ n$ , $ -\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$ , puis en déduire la limite de la suite $ (u_n)$ .


Exercice 11 Soit, pour tout entier $ n$ , $ u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n^2+1}$ .
Montrer que pour tout entier $ n$ , $ \dfrac{n-1}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{n+1}{n^2+1}$ , puis en déduire la limite de la suite $ (u_n)$ .


Exercice 12 Soit, pour tout entier $ n$ , $ u_n=\dfrac{(-1)^n+n}{(-1)^n+2}$ .

Montrer que pour tout entier $ n$ , $ u_n\geqslant \dfrac{n-1}{3}$ , puis en déduire la limite de la suite $ (u_n)$ .


Exercice 13 Soit la suite définie par $ u_0 = 0$ et $ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2 + 12}. $ .

  1. Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

    Quel semble être la limite de $ (u_n)$ ?

  2. Montrer que la suite $ (v_n)$ définie par $ v_n = u_n²-4$ est géométrique.

  3. En déduire la limite de la suite $ (v_n)$ puis celle de la suite $ (u_n)$ .


Exercice 14 Soit $ (u_n)$ la suite définie par $ \left\{\begin{array}{l}
u_0 \geq -3 \\
u_{n+1} = \sqrt{3 + u_n} \\
\end{array}\right.$


Quelle valeur de $ u_0$ faut-il prendre pour que la suite $ (u_n)$ soit stationnaire ?


Exercice 15 On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0=5$ et, pour tout entier $ n$ , $ 3u_{n+1}=u_n+4$ .

  1. Calculer $ u_1$ et $ u_2$ .

  2. Démontrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_n\geqslant 2$ .

  3. Montrer que $ (u_n)$ est une suite décroissante.
  4. Montrer que la suite $ (u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
  5. On pose, pour tout entier $ n$ , $ v_n=u_n-2$ .

    Montrer que $ (v_n)$ est une suite géométrique.

    En déduire l'expression de $ v_n$ en fonction de $ n$ .

  6. Soit $ \displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n v_k=v_0+v_1+\dots+v_n$ et $ \displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\dots+u_n$ .

    Déterminer l'expression de $ S_n$ , puis de $ T_n$ , en fonction de $ n$ .

  7. Déterminer $ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} S_n$ et $ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} T_n$ .


Exercice 16 Soit la suite numérique $ (u_n)$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em N}^*$ par $ u_n=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}$ .

  1. a. Montrer que, pour tout $ n\in{\rm I\kern-.1567em N}^*$ , $ u_n=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}$ .

    b. Prouver que, pour tout $ n\in{\rm I\kern-.1567em N}^*$ , $ 0<u_n<1$ .

    c. Etudier le sens de variation de la suite $ (u_n)$ .

  2. On pose $ x_n=u_1 \times u_2\times \cdots \times u_n$
    a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $ n\in{\rm I\kern-.1567em N}^*$ , $ x_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}$

    b. Déterminer la limite de la suite $ (x_n)$ .