Source Latex
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% Fiche format a5 compilée suivant la chaîne:%
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%%%%%%% New Commands et raccourcis %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\settowidth{\lprop}{Propriété}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\newcommand{\TITLE}{Fluctuations}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\definecolor{filigray}{gray}{0.82}
\rput(0.5,-2){\rotatebox{50}{
\textcolor{filigray}{\huge\bf xymaths.free.fr}
}}
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\rput(9.,-14){\rotatebox{50}{
\textcolor{filigray}{\huge\bf xymaths.free.fr}
}}
\vspace*{-1.2cm}
\ct{\LARGE\bf \TITLE}
\vspq
\noindent
\bgmp{8.4cm}
Dans une population donnée, on connaît la fréquence $f$ d'un
caractère.
\vspq
On répète $n$ fois, de façon indépendante et aléatoire,
le choix d'un individu dans cette population
de façon à constituer un échantillon de taille~$n$.
La fréquence $f'$ du caractère dans l'échantillon peut varier d'un
échantillon à l'autre (sa constitution est aléatoire).
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4.3,-3.6)(1.5,1.4)
\psellipse(0,0)(2.9,3.2)
\rput(-0.1,2){Population}
\rput(0.1,1.4){\small fréquence $f$}
\psellipse(-0.8,-1.3)(1.7,0.9)
\rput(-0.7,-1){Echantillon}
\rput(-0.6,-1.5){\small fréquence $f'$}
\rput(-0.7,-1.9){\small taille $n$}
%
%\psarc[linecolor=red]{->}(0.6,0.4){1.6}{-90}{80}
%\rput(3.1,1){\textcolor{red}{Inférence}}
%\rput(3.2,0.6){\textcolor{red}{(induction)}}
\psarc[arrowsize=10pt,linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(-2.1,0.4){1.6}{78}{252}
\rput(-5.7,1){\textcolor{blue}{Echantillonnage}}
\rput(-5.6,0.5){\textcolor{blue}{(déduction)}}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-0.4cm}
\bgprop{
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% est environ:
\[
I=
\lb
f-1,96\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\,;\,
f+1,96\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}
\rb\]
}
\vsp
\small{
Cet intervalle signifie que dans 95\,\% des cas (ou avec une
probabilité de 0,95) la fréquence observée dans un échantillon
prélevé au hasard dans la population sera dans l'intervalle $I$.
\vsp\noindent
Si pour un échantillon donné la fréquence observée n'appartient pas
à $I$, alors on peut remettre en cause, avec un risque d'erreur de
5\,\% les hypothèses mises en jeu:
l'échantillon est constitué aléatoirement, la fréquence dans la
population complète est~$f$,\dots
}
\vspd
\ct{\LARGE\bf Estimation}
\vspd
\noindent
\bgmp{8.4cm}
On connaît la fréquence
$f'$ d'un caractère d'un échantillon aléatoire de la population.
\vspt
A partir de la connaissance de cette fréquence empirique $f'$,
on souhaite estimer la fréquence $f$ du caractère dans la
population complète.
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4.3,-1.8)(1.5,1.8)
\psellipse(0,0)(2.9,3.2)
\rput(-0.1,2){Population}
\rput(0,1.3){\scriptsize{fréquence $f$}}
%\psellipse(-0.8,-1.1)(1.6,0.7)
\psellipse(-0.5,-1.4)(1.9,1.1)
\rput(-0.5,-1){Echantillon}
\rput(-0.5,-1.4){taille $n$}
\rput[l](-1.7,-1.9){\scriptsize{fréquence}}
\rput[l](-1.7,-2.15){\scriptsize{empirique\! $f'$}}
%
%\psarc[linecolor=red]{->}(0.6,0.4){1.6}{-90}{80}
%\rput(3.1,1){\textcolor{red}{Inférence}}
%\rput(3.2,0.6){\textcolor{red}{(induction)}}
\psarc[arrowsize=10pt,linewidth=1.4pt,linecolor=red]{<-}(-2.1,0.4){1.6}{93}{260}
\rput(-5.3,1){\textcolor{red}{Inférence}}
\rput(-5.2,0.3){\textcolor{red}{(induction)}}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{
L'intervalle
$I_n=\lb f'-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f'+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\rb\,.$
contient la fréquence $f$ du caractère dans la population avec une
probabilité supérieure ou égale à 0,95.
$I_n$ est l'intervalle au niveau de confiance de
95\,\%.
}
\vspace{-0.2cm}
\paragraph{Dimensionnement des échantillons (ou sondages)}
La largeur de l'intervalle de confiance, ou précision de l'estimation
est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
\noindent
Ainsi, pour obtenir une estimation (toujours avec un niveau de
confiance de 95\,\%) de la fréquence $f$ avec une
précision $\epsi$ donnée, on doit donc avoir
$
\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant \epsi
\iff
n\geqslant \lp\dfrac{2}{\epsi}\rp^2
$
\end{document}
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