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Suites récurrentes - Construction graphique


Un exercice complet, classique, corrigé et détaillé


Soit la suite définie par et, pour tout entier , .


La suite est définie par récurrence, c'est-à-dire que chaque terme de la suite est défini à partir du précédent:


On a avec la fonction définie sur par l'expression

Un plan général pour l'étude d'une telle suite récurrente est généralement:
Exercice Soit la suite définie par et, pour tout entier ,   .
On définit la fonction sur par l'expression , et on note sa courbe dans un repère orthogonal du plan.
  1. Etudier le sens de variation de sur .
  2. Tracer l'allure de la courbe représentative de et construire graphiquement les premiers termes , , et de la suite .
    Quelles conjectures peut-on faire sur la suite ?

  3. Résoudre l'équation .
    On notera la solution positive de cette équation.
  4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier ,    .
    Que peut-on en déduire quant à la suite ?
  5. Montrer que la suite est convergente. Préciser sa limite.


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