Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques TSTMG: échantillonnage et estimation},
pdftitle={Probabilités: loi normale},
pdfkeywords={échantillonnage, estimation, fluctuation, prise de décision, probabilités, Mathématiques, STMG, terminale STMG, TSTMG}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
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\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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\medskip\stepcounter{nprop}
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\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\medskip
}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$\\
\medskip
}
\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{\'Echantillonnage - Estimation - Décision}
\author{Y. Morel}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTG/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTMG - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\psset{arrowsize=8pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\vspace*{-2cm}
\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}
\section{Position du problème}
\hspace{2.8cm}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=10pt}
\begin{pspicture}(-4.7,-3)(4.5,3)
\psellipse(-.1,0.4)(2.1,2.8)
\rput(-0.1,2){Population}
\rput(0,1.7){proportion $p$}
\psellipse(-0.5,-1.1)(1.1,0.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-0.5,-0.4)(1,0.3)\rput(-0.5,-0.4){Echantillon}
\psline(-1.3,-0.6)(0.25,-0.6)
\rput(-0.5,-0.85){taille $n$}
\rput(-0.5,-1.15){proportion $p'$}
%
\psarc[linecolor=red,linewidth=1.4pt]{->}(0.6,0.4){1.6}{-90}{80}
\rput(3.4,.6){\textcolor{red}{\bf Estimation}}
\psarc[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{->}(-1.3,0.4){1.6}{80}{260}
\rput(-4.5,.6){\textcolor{blue}{\bf Echantillonnage}}
\end{pspicture}
\medskip
\bgmp{8cm}
\ulb{L'échantillonnage} consiste à prédire, à partir d'une
population connue les caractéristiques d'un échantillon aléatoire.
\enmp
\hspace{0.25cm}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.4pt](0,1.3)(0,-.8)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0.1,1.3)(0.1,-.8)
\hspace{0.25cm}
\bgmp{8.4cm}
\ulr{L'estimation} consiste à déterminer les caractéristiques
inconnues d'une population globale à partir de celles d'un échantillon.
\enmp
\bigskip
\section{Fluctuation d'échantillonnage}
On suppose ici la valeur de $p$ connue.
\bgdef{Si on réalise plusieurs échantillons au hasard,
la proportion $p'$ peut \^etre différente entre chaque échantillon.
Ce phénomène s'appelle la {\bf fluctuation d'échantillonnage}.
}
\medskip\noindent
\ul{Exemple:}
Il y a $p=10\,\%$ de gauchers en France
(12\,\% exactement).
Dans un échantillon de 30 élèves (la classe par exemple),
on peut donc s'attendre à trouver 3 gauchers.
\medskip
Dans certaines classes, il y a effectivement 3 gauchers, dans d'autes
il y en a 2, soit $2/30\simeq 7\,\%$, dans d'autres qu'un seul,
soit $1/30\simeq 3,5\,\%$, dans d'autres encore il peut y en a jusqu'à
6, soit ($6/30=20\,\%$), mais il semble très rare de trouver une
classe avec 7 ou plus de gauchers.
\medskip
La fréquence, ou proportion, de gauchers dans un échantillon de 30
personnes, varie, ou fluctue d'un échantillon à l'autre,
mais reste sûrement dans l'intervalle
$\Bigr[ 3,5\,\%\,;\,20\,\% \Bigr]=\Bigl[ 0,35\,;\,0,2\Bigr]$.
\bgprop{
L'intervalle
$\lb\ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ \rb$
est un intervalle de fluctuation à 95\% de la proportion $p'$.
\medskip
En prenant un échantillon de taille $n$ au hasard,
la proportion $p'$ est dans cet intervalle
avec une probabilité d'environ 95\%.
}
\bigskip
Cet intervalle quantifie la fluctuation due à l'aléatoire de la
proportion $p'$ que l'on peut observer en ne prélevant qu'un
échantillon de taille $n$.
Même si, comme l'échantillon est constitué aléatoirement, la
proportion $p'$ peut a priori prendre n'importe quelle valeur entre 0 et
1
(ou 0\% et 100\%), on est "presque sûr" (en fait avec un "petit"
risque d'erreur de 5\%) que la variation de la proportion $p'$ reste
limitée dans cet intervalle.
\bgex
Dans une petite ville, 58\% de la population votent habituellement
pour le maire actuel et candidat A.
\bgen[a)]
\item Sur un échantillon de 100 personnes pris au hasard dans cette ville,
calculer l'intervalle de fluctuation de la proportion $p'$ de personnes
qui votent pour A.
\item Le maire vient de recevoir les résultats du sondage,
réalisé auprès de 100 personnes, qu'il a commandé.
Ce sondage rapporte 49\% de personnes votant pour lui.
Doit-il s'inquiéter ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Parité homme-femme}
Deux entreprises $A$ et $B$ recrutent leur personnel dans un bassin
d'emploi où il y a autant d'hommes que de femmes.
L'entreprise $A$ emploie $60$ personnes, dont 26 femmes, tandis que
l'entreprise $B$ emploie 1050 personnes, dont 480 femmes.
\bgen
\item Calculer les proportions de femmes employées dans chaque
entreprise.
Laquelle semble au mieux respecter la parité ?
\item Déterminer pour chaque entreprise l'intervalle de fluctuation à
95\% de la proportion de femmes.
\item Les deux entreprises respectent-elles la parité au seuil
d'erreur de 5\% ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Contrôle qualité}
Dans une usine, le responsable de la fabrication affirme que la
proportion de produits défectueux fabriqués est de 20\%.
Sur la chaîne de fabrication on a prélevé au hasard 72 produits,
et on a constaté que 24 d'entre eux étaient défectueux.
\bgen
\item Quelle est la proportion de produits défectueux dans
l'échantillon prélevé ?
\item Que penser de l'affirmation du responsable de la fabrication ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Influence du climat sur la couleur des yeux}
En France, la proportion de personnes ayant les yeux bleus est de
31\%.
Dans une grande ville française, au micro-climat particulièrement
ensoleillé, sur 50 personnes rencontrées au hasard, on a recensé 10
personnes ayant les yeux bleus.
\bgen
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95\% de la proportion
de personnes ayant les yeux bleus dans un échantillon de 50
personnes.
\item Peut-on attribuer au micro-climat une influence spécifique sur
la couleur des yeux ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Dimensionnement d'une cantine}
Dans un établissement de 3000 personnes, chaque personne peut ou non,
librement, manger à la cantine chaque jour.
En moyenne 65\% des personnes y mangent.
On souhaite estimer le nombre de places assises dans la cantine telle
manière que toutes les personnes aient une place pour manger.
Par ailleurs, par soucis d'économie, on souhaite aussi que le nombre
de places prévues soit minimal.
Combien de places doit-on prévoir ?
\enex
\clearpage
\section{Estimation d'une proportion à partir d'un échantillon}
\vspace{-.5em}
\bgdef{
Un échantillon est un sous-ensemble de la population.
Un échantillon \ul{représentatif} est un sous-ensemble
\ul{choisi au hasard dans la population}.
}
\medskip
Connaissant la proportion (ou fréquence) $p'$ d'un caractère pour un
échantillon aléatoire de taille $n$, on peut estimer la proportion $p$
du caractère dans la population complète de la façon suivante:
\bgprop{
L'intervalle
$\left[\ p'-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p'+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \ \right]$
contient la proportion $p$ avec une probabilité d'environ 95\%.
Cet intervalle s'appelle l'intervalle de confiance au seuil de 95\%,
ou l'intervalle au niveau de confiance de 95\%.
}
\bgex {\bf Estimation du nombre de cyclistes citadins}
Dans une grande ville de 200\,000 habitants, la municipalité
s'intéresse au nombre de cyclistes afin d'adapter au mieux les routes
et pistes cyclables. Elle cherche donc à estimer la propotion $p$ de
cyclistes dans la ville, ou encore le nombre $N$ de cyclistes.
La municipalité a ainsi effectué un sondage en interrogeant, au
hasard, 400 personnes.
Sur ces 400 personnes, 78 déclarent circuler régulièrement en vélo.
\bgen
\item Quelle est la proportion $p'$ de cyclistes dans l'échantillon
interrogé ?
Peut-on affirmer que $p=p'$ ?
\item Donner l'intervalle de confiance à 95\% de la proportion $p$
de cyclistes dans la ville.
En déduire un
encadrement du nombre de cylcistes dans toute la ville.
\enen
\enex
\bgex
La semaine précédent une élection opposant deux candidats $A$ et $B$,
on a interrogé un échantillon de 200 électeurs supposé représentatif
de l'ensemble des électeurs.
109 personnes de cet échantillon ont déclaré avoir l'intention de voter
pour le candidat $A$. \\
Le candidat $A$, suite à ce sondage, affirme:
\og si les élections avaient eu lieu le jour du sondage j'aurais été
élu\fg.
Qu'en pensez-vous ?
\enex
\bigskip
\paragraph{Interprétation des résultats d'un sondage:}
Pour un sondage réalisé par exemple auprès de 1000 personnes
donnant comme résultat 52\% de votes pour le candidat A,
l'intervalle de confiance est environ
$\lb 49\%\ ;\ 55\%\rb$.
\medskip
D'après ce qui précède, on peut (et doit!) maintenant traduire un
résultat d'un sondage tel que:
{\sl \og Il y a 52\% de personnes qui voteraient pour le candidat A
(d'après un sondage réalisé auprès de 1000 personnes\fg,}
par:
{\sl \og Il y a 95\% de chances (ou une probabilité de 0,95=95\%)
pour que l'intervalle [49\%\,;\,55\%] contiennent le pourcentage de
personnes prêts à voter pour le candidat A\fg.}
\medskip
Les sondages sont réalisés en général sur des échantillons de $n=1000$
personnes.
Bien sûr, si ce n'est pas le cas, on adapte alors l'intervalle de
confiance [49\%\,;\,55\%] grâce à la formule précédente.
\bigskip
\bgex
En lan\c cant 200 fois un dé, on a obtenu 28 fois le six.
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\%,
pour la proportion de six.
Que peut-on en conclure ?
\enex
\clearpage
\bgex
Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de
montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement
des glaces était de 84\%.\\
En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d'entre elles
déclarent consommer des glaces.\\
Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\% et à partir
de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Fran-
çais consommant régulièrement des glaces est resté stable
entre les années 2000 et 2010 ?
\enex
\bgex
On admet que dans la population d'enfants de 11 à 14 ans d'un
département français le pourcentage d’enfants
ayant eu une crise d’asthme dans leur vie est de 13\%.\\
Un médecin d'une ville de ce département est surpris du nombre important
d'enfants le consultant ayant eu une crise
d’asthme et en informe les services sanitaires.
Ceux-ci décident d'entreprendre une étude et d'évaluer la proportion
d'enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d'asthme.
Il sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.
\medskip
L'étude réalisée auprès de 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant
déjà eu des crises d’asthme.
Que pouvez-vous en conclure ?
\enex
\bgex
Une société de vente en ligne vend des DVD.
Lorsqu'un client re\c oit un DVD défectueux, il le renvoie
pour échange au service après-vente.
On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque client concerné prélevé
au hasard, associe le nombre de jours entre la date de renvoi
du DVD défectueux et la date de réception du DVD de remplacement,
suit la loi normale d'espérance 8 jours et d'écart type 2,75 jours. \\
On considère qu'un client se déclare sastisfait du service après-vente
si son délai d'attente ne dépasse pas 10 jours.
\bgen
\item \textit{Les probabilités seront arrondies à $10^{-2}$ près.} \\
On choisit au hasard un client concerné.
\bgen[a)]
\item Calculer la probabilité ue le client soit satisfait
du service après-vente.
\item En déduire la probabilité qu'il ne soit pas satisfait du
service après-vente.
\enen
\item La société a pour objectif que 85\% des clients concernés soient
satisfaits.
Elle effectue un sondage auprès de 200 de ses clients,
pris au hasard et avec remise: 168 se déclarent satisfaits. \\
\`A partir de cet échantillon, la société peut-elle déclarer,
au risque de 5\%, que son objectif est atteint ?
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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