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Description
Cours de mathématiques en terminale STMG - taux d'évolution, indice et taux moyen
Niveau
Terminale STMG
Table des matières
  • Rappels
    • Coefficient multiplicateur
    • Variation absolue et relative - Taux d'évolution
    • Taus d'évolution réciproque
  • Évolutions successives - Taux d'évolution moyen
    • Évolutions successives - Taux global
    • Taux moyen
    • Racine n-ième d'un nombre
    • Calcul du taux moyen
  • Indice simple en base 100
  • Exercices
Mots clé
taux d'évolution, pourcentage d'évolution, coefficient multiplicateur, indice, taux moyen, taux réciproque, cours de mathématiques
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques TSTMG: indice, taux moyen},
    pdftitle={Indice - Taux d'évolution moyen},
    pdfkeywords={Mathématiques, indice, taux dévolution, taux moyen, STMG, terminale STMG, TSTMG}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

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\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=19.2cm
\oddsidemargin=-1.5cm
%\parindent=0.2cm


\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propriétés \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \bigskip\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$\\
  \medskip
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Indice - Taux d'évolution moyen}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TSTG/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTMG - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-3cm}
%\textheight=26.5cm
%\voffset=2cm
\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}

\section{Rappels}
\subsection{Coefficient multiplicateur}

\bgex
\bgen
\item Le prix d'un produit a augmenté de 20\,\%. 
  Il valait initialement 40\euro. 
  Quel est le montant de l'augmentation et son nouveau prix ? 

  Par combien le prix initial a-t'il été multiplié ? 

\item Le nombre d'adhérents d'une association était de 250 en 2008. 
  Il a baissé de 6\% en 2009. 
  Combien d'adhérents y'a-t'il en 2009 ? 

  Par combien le nombre initial d'adhérents a-t-il été mutliplié ?
\enen
\enex

\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Augmenter une quantité de $t$\% revient à multiplier
  celle-ci par $1+t\%$. 
\item[$\bullet$] Diminuer une quantité de $t$\% revient à multiplier
  celle-ci par $1-t\%$. 
\enit
}

\bgdef{
  Dans ce qui précède, le pourcentage $t$ est un pourcentage, ou taux,
  d'évolution (d'augmentation ou de diminution). 

  Le nombre $c=1+t$ ou $c=1-t$ s'appelle le 
  \ul{coefficient multiplicateur}.\ \ \ 
%\begin{pspicture}
%\vspq
\rput(0,-0.3){$v_{i}$}
\psarc{<-}(1,-0.8){1}{40}{140}
\rput(1,0.5){$\tm c$}
\rput(2,-0.3){$v_{f}$}
}


\bgex 
\bgen
\item La valeur d'une quantité a été multipliée par 1,6. 
  Indiquer le taux d'évolution correspondant. 
\item La valeur d'une quantité a été multipliée par 0,3. 
  Indiquer le taux d'évolution correspondant. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à une
  augmentation de 25\% ? 
  à une diminution de 12\% ? 
\item Une étude à montré que le coût des vacances a, en moyenne,
  doublé depuis les dix dernières années. 
  Quel est le taux d'évolution correspondant ?
\item Dans une ville, les loyers ont été multipliés par environ 3 en
  40 ans. 
  Quel est le pourcentage d'augmentation correspondant ? 
\item Durant des soldes, le prix d'un article est divisé par 2. 
  Quel est le pourcentaage de la rédution qui lui a été appliqué ?
\item A la suite d'une surproduction, le prix de vente d'un légume a
  été divisé par 3. 
  Calculer le taux de diminution du prix du légume.
\enen
\enex

\bgex 
Un magasin annonce des soldes de $-15$\% sur tous ses articles. 

\bgen
\item Calculer le prix soldé d'un article qui valait 132\euro.
\item Calculer le prix initial d'un article soldé 35,70\euro.
\enen
\enex

\bgex 
Un journal mensuel publie l'état de ses comptes pour l'année 2018. 
On peut notamment lire: 
{\it "nombre d'abonnés: 151\,000, ce qui constitue une baisse de 3\%
  par rapport à 2017."} 

Calculer le nombre d'abonnés que ce journal avait en 2017. 
\enex


\bgex
Le prix d'un produit a été augmenté de 12\%, puis le mois suivant de
15\%. 
Son prix initial était de 34\euro. 

Déteminer le prix final de cet article, 
le coefficient multiplicateur global 
ainsi que le pourcentage de l'augmentation globale. 
\enex

\subsection{Variations absolue et relative - Taux d'évolution}


\bgdef{
  La variation absolue d'une quantité évoluant de la valeur initiale $v_i$ 
  à la valeur finale $v_f$ est la différence $v_f-v_i$.

  La variation relative, ou taux d'évolution, est 
  $t=\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{\mbox{Variation absolue}}{v_i}$.
}

\bigskip\noindent
\ul{Exemple 1:} 

$\bullet$ 
La  variation absolue de $v_i=12$ à $v_f=18$ est $v_f-v_i=18-12=6$. 

La variation relative, ou taux d'évolution, est 
$\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{18-12}{12}=dfrac{6}{12}=0,5=50\%$. 

$\bullet$ 
La  variation absolue de $v_i=212$ à $v_f=218$ est $v_f-v_i=6$. 
C'est la m\^eme que précédemment. 

Par contre, le taux d'évolution, est cette fois 
$\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{218-212}{212}\simeq0,03=3\%$. 

La variation est \textbf{\ul{relativement}} bien moindre !

\bigskip\noindent
\ul{Exemple 2:}

$\bullet$ 
La variation relative de $v_i=2,5$ à $v_f=10$ est $v_f-v_i=7,5$. 

Le taux d'évolution, ou variation relative, est 
$\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{10-2,5}{2,5}=3=300\%$. 

\bigskip
$\bullet$ La variation absolue de $v_i=10$ à $v_f=2,5$ est
$v_f-v_i=-7,5$. 

Le taux d'évolution, ou variation relative, est 
$\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{2,5-10}{10}=-0,75=-75\%$. 

Il s'agit donc d'une diminution de 75\%. 
On note aussi ainsi au passage que le contraire d'une évolution de 
300\% est une diminution de 75\%. 


\bgex Le montant de la redevance de l'audiovisuel était de
  114,49\euro\, en 2001 et de 116,50\euro en 2004. 
  Calculer la variation absolue et le taux d'évolution de cette taxe
  entre 2001 et 2004. 
\enex


\bgex 
Dans une cité universitaire, le montant du loyer mensuel pour une
chambre est passé de 120\euro\, l'an dernier à 125\euro\, cette
année. 
Calculer la variation absolue et la variation relative du montant de
ce loyer.
\enex

\bgex Un théâtre a programmé 260 représentations pour l'année en cours
contre 240 l'année passée. 
Calculer la variation absolue et le taux d'évolution du nombre de
représentations. 
\enex


\bgex 
Au siècle dernier, la population de la Terre est passée, en 80 ans, 
de 2 milliards à 6 milliards d'individus. 
Calculer la variation absolue et le pourcentage d'augmentation du
nombre de terriens sur ces 80~ans. 
\enex

\subsection{Taux d'évolution réciproque}

On considère deux valeurs $v_i$ et $v_f$, et on désigne par $t$ le
taux d'évolution de $v_i$ à $v_f$, 
et par $T$ le \ul{taux d'évolution réciproque} de $v_f$ à $v_i$. 

\bgmp[t]{5cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(3,1.4)
\rput(0,0){$v_{i}$}
\psarc{<-}(1,-0.5){1}{40}{140}
\rput(1,0.8){$\tm (1+t)$}
\rput(2,0){$v_{f}$}
\psarc{<-}(1,0.5){1}{220}{-40}
\rput(1,-0.8){$\tm (1+T)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[b]{11cm}
On a donc: 
$v_f=v_i\tm(1+t)=v_f\tm(1+T)\tm(1+t)$ 

\bigskip
d'où, $(1+T)\tm(1+t)=1$, 

\bigskip
et ainsi, 
$1+T=\dfrac{1}{1+t}$. 
\enmp

\bigskip
\bgprop{
Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque de $v_f$ à
$v_i$ est l'inverse du coefficient multiplicateur de l'évolution de
$v_i$ à $v_f$. 
}

\bgex
Le cours d'une action a baissé de 10\%. 
Calculer le taux d'évolution qu'il faudrait lui appliquer pour qu'elle
revienne à son cours initial. 
\enex

\bgex 
Un article co\^ute 36\euro. 
En début d'année, le vendeur décide de l'augmenter de 10\%. 

Plus tard, au moment des soldes, son prix est diminué de 10\%. 

Calculer le prix de l'article après augmentation, puis finalement après solde. 
\enex

\bgex 
Le prix d'un produit d'usage courant a baissé de 6\%. 
Calculer le taux d'évolution qu'il faudrait lui appliquer pour que le
produit revienne à son prix initial. 
\enex

\bgex 
Cette année, les ventes des titres d'un chanteur ont baissé de 8\%. 
Calculer le taux d'évolution qu'il faudrait appliquer pour que les
ventes reviennent à la valeur antérieure. 
\enex

\bgex 
L'augmentation du nombre d'accidents entre juillet et août a été de
12\%. 
Calculer le taux d'évolution du nombre d'accidents entre août et
septembre pour que le nombre d'accidents de septembre soit égal à
celui de jullet. 
\enex





\section{\'Evolutions successives - Taux d'évolution moyen}
\subsection{\'Evolutions successives - Taux global}

\bgex 
Pour fêter l'ouverture de son garage, un concessionnaire
  automobile fait une réduction de 10\% sur un modèle de voiture dont
  le prix initial est 12\,000\euro. 
  Après discussion, un client obtient une remise supplémentaire de
  5\%. 
\bgen[a)]
\item Calculer le prix de la voiture après la première réduction,
  puis le prix final. 
\item Calculer le taux d'évolution du prix initial de la voiture au
  prix payé par le client; 
  la réduction  totale est-elle de 15\% ?

\item Finalement, comme le client décide de régler comptant le véhicule, 
  une dernière remise de 4\% lui est accordée. 

  Calculer le prix final payé par le client, et le taux d'évolution 
  global depuis le prix initial. 
\enen
\enex

\bigskip
On considère des valeurs successives $v_1$, $v_2$, $v_3$, \dots 
et on désigne par $t_1$ le taux d'évolution de $v_1$ à $v_2$, et $t_2$ le
taux d'évolution de $v_2$ à $v_3$, \dots 
On désigne enfin par $T$ le taux d'évolution. 
\[\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.4,-1.8)(8.4,.8)
\rput(0,-0.3){$v_1$}
\psarc{<-}(1,-0.8){1}{40}{140}
\rput(1,0.4){$\tm (1+t_1)$}
\rput(2,-0.3){$v_2$}
%
\psarc{<-}(3,-0.8){1}{40}{140}
\rput(3,0.4){$\tm (1+t_2)$}
\rput(4,-0.3){$v_3$}
%
\psarc{<-}(5,-0.8){1}{40}{140}
\rput(5,0.4){$\tm (1+t_3)$}
\rput(6,-0.3){$v_4$}
%
\psarc{-}(7,-0.8){1}{105}{140}
\rput(7.05,0.15){$\dots$}
\psarc{<-}(7,-0.8){1}{40}{74}
\rput(8,-0.3){$\dots$}
%
\psarc{->}(4,5.5){7}{237}{-57}
\rput(4,-1.3){$\tm (1+T)$}
\end{pspicture}\]

\bgprop{
Le coefficient multiplicateur global est égal à la multplication des
coefficients multiplicateurs successifs: 
\[1+T=(1+t_1)\tm(1+t_2)\tm(1+t_3)\dots\]
}

\bgex 
Une quantité subit les évolutions successives: 
\bgit
\item augmentation de 15\%, 
\item augmentation de 12\%, 
\item diminution de 8\%, 
\item augmentation 9\%, 
\item diminution de 5\%
\enit
Détailler les coefficients multiplicateurs successifs, 
le coefficient multiplicateur global, 
et enfin le taux d'évolution global. 
\enex

\bgex
Un article, initialement à 27\euro, est augmenté de 5\%, puis de
10\%. 
\\
Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le prix final de
l'article. 
Quel est le taux d'évolution global ?
\enex

\bgex
Lors d'une journée, le cours d'une action a augmenté de 10\%, puis
baissé de 9,5\%. 
\\
Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le cours final de 
cette action. 
Quel est le taux d'évolution global ?
\enex

\bgex 
Le prix d'un produit d'usage courant a baissé ces 4 derniers mois de 4\%, 
puis de 5\%, puis de 3\%, et enfin de 7\%. 
Calculer le taux d'évolution global de ce produit, du prix initial au prix
final. 
\enex

\subsection{Taux moyen} 

\bgdef{On appelle taux d'évolution moyen, ou taux moyen, 
  de $n$ évolutions successives, le taux $t_M$ qui, 
  appliqué constamment à chaque évolution, donne le 
  m\^eme taux global.}


\[\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.4,-1.8)(8.4,.8)
\rput(0,-0.3){$v_1$}
\psarc{<-}(1,-0.8){1}{40}{140}
\rput(1,0.4){$\tm (1+t_M)$}
\rput(2,-0.3){$v_2$}
%
\psarc{<-}(3,-0.8){1}{40}{140}
\rput(3,0.4){$\tm (1+t_M)$}
\rput(4,-0.3){$v_3$}
%
\psarc{<-}(5,-0.8){1}{40}{140}
\rput(5,0.4){$\tm (1+t_M)$}
\rput(6,-0.3){$v_4$}
%
\psarc{-}(7,-0.8){1}{105}{140}
\rput(7.05,0.15){$\dots$}
\psarc{<-}(7,-0.8){1}{40}{74}
\rput(8,-0.3){$\dots$}
%
\psarc{->}(4,5.5){7}{237}{-57}
\rput(4,-1.3){$\tm (1+T)$}
\end{pspicture}\]

Pour calculer ce taux moyen $t_M$, 
pour $n$ évolutions successives, on a donc la relation 
\[(1+t_M)\tm(1+t_M)\tm\dots\tm(1+t_M)=1+T\]
soit 
\[\lp1+t_M\rp^n=1+T\]
avec $T$ le taux d'évolution global. 

\noindent\medskip
\ul{Exemple:} 
Avec les données de l'exercice 12, on a 5 évolutions successives, 
et lee taux moyen $t_M$ tel que 
\[\lp1+t_M\rp^5=(1+15\%)(1+12\%)(1-8\%)(1+9\%)(1-5\%)\simeq 1,23\]


\bigskip\noindent
Il reste à résoudre cette équation. 

\subsection{Racine n-ième d'un nombre}

\bgprop{Pour $a\geqslant0$, l'équation $x^n=a$ admet une unique solution 
  dans l'intervalle $[0;+\infty[$. 

  Cette solution, notée $a^\frac1n$, s'appelle la racine n-ième du nombre $a$.
}

\bigskip\noindent
\ul{Exemples/remarques:} 
\bgen[$\bullet$]
\item Pour $n=2$, $9^\frac12$ est la racine deuxième de 9, 
  solution de l'équation $x^2=9$: c'est la racine carrée: 
  \[9^\frac12=\sqrt9=3\]
\item Pour $n=3$, $a^\frac13$ est la racine cubique: 
  $a^\frac13=\sqrt[3]{a}$

\item Avec la calculatrice, par exemple: 
  $5^\frac14\simeq1,49$ \ , \ 
  $1,5^\frac18\simeq 1,05$
\enen

\bgex
Résoudre les équations: 
a) $x^5=1,5$ \quad 
b) $x^{12}=2,3$ \quad 
c) $x^3=27$ \quad 
d) $x^2=16$ 
\\[.5em]
\hspace*{17em}
e) $(1+x)^3=27$ \quad
f) $(1+x)^5=6$ \quad 
g) $(1+x)^7=1,8$ 

\enex

\subsection{Calcul du taux moyen}

Avec ce qui précède, on peut maintenant calculer le taux moyen 
\[\lp1+t_M\rp^n=1+T 
\iff 1+t_M=\lp1+T\rp^\frac1n
\iff t_M=\lp1+T\rp^\frac1n-1\]

Par exemple, avec les données de l'exercice 12, on avait, 
\[\lp1+t_M\rp^5=1,23
\iff 1+t_M=1,23^\frac15\simeq 1,042
\iff t_M\simeq 1,042-1=0,042=4,2\%\]
Les cinq évolutions successives sont équivalentes 
à cinq évolutions de m\^eme taux $t_M=4,2\%$ 


\bgex
Le prix d'un produit a augmenté succesivement de 10\% et de 12\% 
et a ensuite baissé de~5\%. 
Calculer le taux moyen de ces trois évolutions successives. 
\enex


\bgex
Calculer le taux global de quatre évolutions successives de taux 
$t_1=5\%$, $t_2=-10\%$, $t_3=22\%$ et $t_4=-5\%$. 
Déterminer ensuite le taux moyen. 
\enex

\bgex
Le prix d'un produit a augmenté en moyenne de 1,5\% par an 
de fin 2010 et à fin 2015. 
\bgen
\item Déterminer le taux d'augmentation global. 
\item Le prix du produit était de 50\euro\ fin 2010. 
  Donner son prix fin 2015. 
\enen
\enex

\bgex
Le chiffre d'affaires d'une entreprise a augmenté de 21\% en 5 ans. 
\\
Donner le taux d'évolution moyen annuel. 
\enex

\bgex
Un producteur a successivement augmenté ces prix de 18\%, 2\% et enfin 1\%. 
\bgen
\item Calculer la moyenne des trois taux d'évolution. 
\item Déterminer le taux d'évolution moyen de ces trois évolutions. 
\enen
\enex



\section{Indice simple en base 100}

Pour voir, ou montrer, rapidement comment évolue une quantité, 
on peut désigner une valeur de référence, 
à laquelle on attribue la valeur "100", et calculer les valeurs correspondantes 
des autres quantités par proportionnalité. 

\bgex 
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants dans une commune. 
\\Compléter ce tableau. \\[-1.6em]
\[\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  Année & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 & 2020 
  \\\hline
  Habitants & 36\,047 & 34\,245 & 35\,180 & 39\,884 & 42\,651
  \\\hline
  Indice & 100 & &&&
  \\\hline
\end{tabular}\]
\enex

\bgprop{Pour $v_i$ et $v_f$ deux valeurs, 
  on définit l'indice $I$ de la valeur de $v_f$ 
  avec l'indice de $v_1$ en base 100 par 
  \[\bgmp{4cm}
  \begin{tabular}{|c|c|}\hline
    $v_i$ & $v_f$ \\\hline
    100 & I \\\hline
  \end{tabular}\enmp
  v_i\tm I=100\tm v_f 
  \iff
  I=100\tm\dfrac{v_f}{v_i}
  \]
}

\bgex
Le nombre mensuel de visiteurs sur un site était de 
25\,600 le premier mois de lancement du site, 
puis de 44\,732 le mois suivant. 
Ce nombre a enfin été multiplié par 3 au bout de 6 mois. 

Calculer l'indice du nombre de visiteurs, base 100 pour le premier mois, 
au deuxième mois, puis au bout de 6 mois. 
\enex

\bigskip
L'indice et le taux d'évolution sont  de plus facilement reliés: 
si $c$ est le coefficient multiplicateur, 
$v_f=c\tm v_i$ ou encore 
$c=\dfrac{v_f}{v_i}$, 
alors 
$I=100\tm c$. 

On a ainsi, $c=1+t=\dfrac{I}{100}$, ou encore 
\bgprop{$t=\dfrac{I}{100}-1=\dfrac{I-100}{100}$.}


\bgex
Le tableau suivant donne les indices des chiffres d'affaires annuels 
d'une entreprise, base 100 pour la première année. \\[-2em]
\[\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  Année & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 
  \\\hline
  Indice CA & 100 & 112,5 & 118,2 & 105,3 & 124
  \\\hline
\end{tabular}\]
\bgen
\item Donner le taux d'évolution du chiffre d'affaires 
  entre l'année 1 et l'année 2, 
  puis entre l'année 1 et l'année~3,\dots 

\item Entre l'année 1 et l'année 6, 
  le taux d'augmentation du chiffre d'affaires est de 28\%. 
  Donner l'indice correspondant, base 100 pour l'année 1. 
\enen
\enex



\section{Exercices}

\bgex
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. 
\bgen
\item Le prix d'un produit passe de 80\euro\ à 100\euro. 
  Le taux d'évolution est de: \\
  \hspace*{-1em}\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
    a) 20\% & 
    b) 25\% & 
    c) 80\% & 
    d) 125\%
  \end{tabular}
\item Le prix d'un article augmente de 25\% puis baisse de 25\%. 
  Finalement, le prix: \\
  \hspace*{-1em}\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
    a) a augmenté & 
    b) a baissé & 
    c) n'a pas varié & 
    d) on ne peut pas savoir
  \end{tabular}
\item La population d'une commune a doublé entre 1960 et 2000. 
  Le taux d'accroissement annuel moyen a été d'environ: \\
  \hspace*{-1em}\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
    a) 3\% & 
    b) 2,75\% & 
    c) 2,5\% & 
    d) 1,75\%
  \end{tabular}
\item La population d'une commune baisse de 2\% par an.\!\! 
  Sa population aura diminué de moitié dans~environ:\\
  \hspace*{-1em}\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
    a) 15 ans & 
    b) 20 ans & 
    c) 35 ans & 
    d) 50 ans
  \end{tabular}
\item Une quantité diminue de 55\%. 
  L'indice correspondant est égal à:\\
  \hspace*{-1em}\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
    a) -55 & 
    b) 45 & 
    c) 55 & 
    d) 155
  \end{tabular}
\enen
\enex

\bgex
La subvention municipale accordée à une association était de 10\,000\euro 
en 2010. 
Chaque année, la municipalité revoie le montant de ses subventions, 
et a appliqué les taux d'évolution  d'une année sur l'autre: 
\[\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  Année & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 
  \\\hline
  Taux d'évolution & 17\% & 15\% & 10\% & 8\% & 5\%
  \\\hline
\end{tabular}\]
\bgen
\item Calculer, pour chaque année, le montant de la subvention accordée. 
\item Le président de l'asssociation se plaint d'une diminution continuelle 
  des subventions. 
  Quelle erreur fait-il ?
\item Calculer les indices correspondants pour chaque année, 
  base 100 en 2010. 
\item Calculer le taux global d'évolution entre 2010 et 2015. 

  Quel est le taux d'évolution moyen annuel ? 
\enen
\enex

\bgex
Dans une revue immobilière on peut lire, 
"en centre ville, le prix au mètre carré est de 4000\euro. 
Les prix ont augmenté de d'environ 10\% par an ces 8 dernières années." 
\\
Calculer le prixau mètre carré il y a 8 ans. 
\enex


\bgex \textit{\'Evolution de la population en France}\\
Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur. 
Il donne les populations urbaine et rurale françaises, 
en millions de personnes, entre 1954 et 1999. 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|p{2em}|c|*5{p{2.5cm}|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\\hline
1&
\multicolumn{6}{|c|}{Populations urbaine et rurale en France métropolitaine}
\\\hline
\bgmp{2em}\ \\2\\3\enmp
& &
Population urbaine (en millions)&
Population rurale (en millions) &
Population totale (en millions) &
Taux de population urbaine (en \%) &
Indice de population urbaine \\\hline
4 & 1954 & 24,5 & 18,2 & 42,7 & 57,4 & 100 \\\hline
5 & 1962 & 29,4 & 17,1 &&&  \\\hline
6 & 1968 & 34,8 & 14,9 &&&  \\\hline
7 & 1975 & 38,4 & 14,2 &&&  \\\hline
8 & 1982 & 39,9 & 14,5 &&&  \\\hline
9 & 1990 & 41,9 & 14,7 &&&  \\\hline
10& 1999 & 44,2 & 14,3 &&&  \\\hline
11 &&&&&&\\\hline
12&
\multicolumn{6}{|c|}{Source INSEE, recensement de la population}
\\\hline
\end{tabular}\]
Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage 
et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième. 

\bgen
\item Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France 
  par rapport à la population totale. 

\item On fixe l'indice de population urbaine à 100 en 1954. 
  Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? en 1982 ? 

\item On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale. 
  \bgen[a)]
  \item Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la 
  population française entre 1954 et 1999 est de 37\%. 
  \item En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999. 
  \item Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente 
    qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers 
    le bas d'obtenir la plage de cellules D5:F10.
  \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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