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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en terminale STMG - Probabilité: arbres pondérés et probabilités conditionnelles
Niveau
Terminale STMG
Table des matières
  • Arbre pondéré de probabilité
  • Probabilités conditionnelles
  • Exercices
Mots clé
probabilité, conditonnement, probabilité conditionnelle, arbre pondéré, cours de mathématiques, TSTMG
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques TSTMG: probabilités conditionnelles - arbre pondéré de probabilité},
    pdftitle={Probabilités conditionnelles - Arbre pondéré},
    pdfkeywords={probabilités, probabilités conditionnelles, arbre pondéré, Mathématiques, STMG, terminale STMG, TSTMG}
}
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    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=19.2cm
\oddsidemargin=-1.5cm
%\parindent=0.2cm


\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propriétés \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \bigskip\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$\\
  \medskip
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités conditionnelles - Arbre pondéré}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TSTG/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTMG - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\psset{arrowsize=8pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}

\bgex
Dans un magasin de cycles, 55\% des ventes sont des VTT, 
30\% sont des VTC, et les vélos de course sont tous les autres vélos 
vendus. 

On a constaté de plus que pour 60\% des VTT, 
35\% des VTC et 80\% des vélos de course, 
l'achat est fait par un homme. 

On se pose la question: "quelle proportion des vélos vendus est achetée par des hommes ?". 

\bgen
\item Supposons que 1000 vélos aient ainsi été vendus. 
  \bgen[a)] 
  \item Représenter la situation par un arbre pondéré. 
  \item Calculer les nombres de VTT, VTC et vélos de course 
    achetés par des hommes. 
  \item Répondre alors à la question principale. 
  \enen
\item Reprendre les calculs précédents en utilisant un arbre 
  pondéré utilisant juste les pourcentages des ventes. 
\enen
\enex

\section{Arbre pondéré}

\bgmp{4.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(5,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$\scriptstyle P(A)$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.6){$p_1$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
  \rput(2.8,0.4){$p_2$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
  \rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P\lp\overline{A}\rp$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$B$}
  \rput(2.8,-0.5){$p_3$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C$}
  \rput(2.8,-0.9){$p_4$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$D$}
  \rput(2.8,-1.4){$\dots$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{13.5cm}
\bgen[{\bf Règle 1.}]
\item La somme des probabilités issues d'un même n\oe ud est égale à
  1. 

%\item Sur chaque branche, on inscrit la probabilité conditionnelle. 

\item Un chemin correspond à l'intersection des événements. 

  Sa probabilité est le produit des probabilités. 

\item La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des
  chemins qui mènent à cet événement. 
\enen
\enmp

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex\bgmp[t]{10cm}
Compléter l'arbre pondéré de probabilité ci-contre. 

\medskip
Calculer alors $P(A\cap E)$, $P(A\cap\overline{E})$ et $P(E)$. 
\enmp\enex
\enmp\qquad
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(4,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,-0.8){$0,4$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$E$}\rput(2.8,1.5){$0,55$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{E}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$E$}
  \rput(3,-0.5){$0,3$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$\overline{E}$}
\end{pspicture}
\enmp


\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex\bgmp[t]{10cm}
Calculer, à partir des données de l'arbre ci-contre, 
$P\lp\overline{A}\rp$, $P(C)$, $P(D)$ et $P(B)$. 
\enmp\enex
\enmp\qquad
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(4,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$0,4$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.5){$0,3$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
  %\rput(2.5,0.4){$$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
  %\rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P\lp\overline{A}\rp$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$B$}
  \rput(3.1,-0.5){$0,7$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C$}
  \rput(3.1,-0.9){$0,2$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$D$}
  %\rput(2.8,-1.4){$\dots$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Une entreprise fabrique des systèmes d'alarme pour les piscines dans deux 
ateliers, notés $S_1$ et $S_2$. 
Dans l'atelier $S_1$ sont fabriqués chaque jour 300 systèmes d'alarme, 
et le double dans l'atelier $S_2$. 

En moyenne, 3\% des alarmes de la production de l'atelier $S_1$ 
sont défectueuses, et 4\% pour l'atelier $S_2$. 

\smallskip
On note les événements 
$S_1$:"le système d'alarme est fabriqué par l'atelier 1", 
et $D$:"le système d'alarme est défectueux". 

\bgen
\item Traduire les données de l'énoncé par des probabilités 
  et représenter la situation par un arbre pondéré. 
\item Calculer la probabiliter $P(D)$. 
\enen
\enex


\bgex
Le personnel du secteur de production d'une entreprise 
est composé de trois catégories: 
les ingénieurs (8\% du personnel), 
les opérateurs de production (82\% du personnel) 
et les agents de maintenance. 

Les femmes représentent 50\% des ingénieurs, 6\% des opérateurs de production, 
et 25\% des agents de maintenance. 

\bgen
\item Calculer la proportion de femmes ingénieurs parmi le personnel. 
\item Calculer la proportion d'hommes opérateurs de production parmi le personnel. 
\item On interroge une personne du personnel au hasard. 
  Quelle est la probabilité que ce soit une femme ? 
\enen
\enex


\section{Probabilités conditionnelles}

\bgex 
Une étude dans une grande ville a donné les résultats suivants: 
73\,\% des personnes ont un velo, 
19\,\% ont des rollers et 17\,\% possèdent les deux. 

On note $R$ l'événement: "la personne a des rollers" 
et $V$:"la personne a un vélo". 

\bgen
\item On considère dans un premier temps que la population de 
  cette ville est composée de 100\,000 personnes.  
  Compléter le tableau: 
  \[\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
    \begin{tabular}{|p{1.5cm}|*3{p{2cm}|}}\hline
     & \hfill $V$\hfill\, &  \hfill$\overline{V}$\hfill\,& \hfill Total\hfill\, \\\hline
    $R$ & & &  \\\hline
    $\overline{R}$ & & &  \\\hline
    Total & & & \hfill100\,000\hfill\, \\\hline
  \end{tabular}\]
    Reprendre le m\^eme tableau avec uniquement des pourcentages 
    ("Total: 100\%"). 
\item On désigne une personne au hasard dans l'annuaire de la ville. 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer la probabilites que cette personne ait soit un velo
    soit des rollers.

  \item Déterminer la probabilité que cette personne n'ait ni velo ni
    roller ?

  \item Quelle est la probalité que cette personne ait des rollers mais
    pas de velo?
  \item La personne contactée affirme tout de suite posséder un vélo. 
    Quelle est la probabilité qu'elle ait alors aussi un roller ? 

  \enen

  \item Je travaille dans un magasin de cycle. 
    Un potentiel client entre dans mon magasin en rollers. 
    Quelle est la probabilité qu'il ait déjà un vélo ? 
\enen
\enex

\bigskip
\noindent
\textbf{Définition / propriété. } 
\bgmp[t]{14.5cm}
La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ 
\textbf{sachant} $A$, notée $P_A(B)$, 
est le nombre 
\[P_A(B)=\dfrac{P\lp A\cap B\rp}{P(A)}\]

\medskip
On exprime alors, de manière équivalente, 
\textbf{la propriété de l'intersection:} 
\[P\lp A\cap B\rp=P(A)\tm P_A(B)\]
\enmp

\bgex
Parmi la clientèle d'un fournisseur de télévision par satellite, 
une enqu\^ete montre que 75\% des abonnés ont souscrit à l'option 
"Sport Live", 50\% des abonnés ont souscrit à l'option 
"Cinéma - Séries" et 30\% des abonnés ont souscrit aux deux options. 

On note les événements $S$: "l'abonné a souscrit à l'option Sport Live" 
et $C$: "l'abonné a souscrit à l'option Cinéma - Séries". 

\bgen
\item Donner les valeurs de $P(S)$, $P(C)$ et $P(S\cap C)$
\item Compléter le tableau de probabilités: 
  \[\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
    \begin{tabular}{|p{1.5cm}|*3{p{2cm}|}}\hline
     & \hfill $C$\hfill\, &  \hfill$\overline{C}$\hfill\,& \hfill Total\hfill\, \\\hline
    $S$ & & &  \\\hline
    $\overline{S}$ & & &  \\\hline
    Total & & & \hfill100\%\hfill\, \\\hline
  \end{tabular}\]

\item Calculer $P_C(S)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'un abonné ait choisi l'option 
  "Cinema - Séries" sachant qu'il a souscrit à l'option 
  "Sport Live". 
\enen
\enex


\bgex
Dans un magasin, on a relevé que 15\% des clients effectuent leurs achats 
avec une carte de fidélité; 
parmi eux, 80\% réalisent toujours des achats d'un montant supérieur 
à 50 euros. 

On considère un client au hasard dans la base de donnée des clients. 

On note $F$ l'événement "le client effectue ses achats 
avec une carte de fidélité et 
$S$: "le client réalise des achats d'un montant supérieur à 50 euros". 

\bgen
\item Donner $P(F)$ et $P_F(S)$. 
\item Calculer $P(F\cap S)$ et traduire le résultat par une phrase. 
\enen
\enex



\noindent
\bgmp{12.5cm}
\textbf{Remarque: } \bgmp[t]{10.5cm} \textit{Dans un arbre pondéré, on a la 
\textbf{règle 4:} 
la probabilité indiquée sur une branche est une probabilité 
conditionnelle }\enmp
\enmp\hfill
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(4,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$\scriptstyle P(A)$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.6){$P_A(B)$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
  \rput(2.5,0.4){$P_A\lp\overline{B}\rp$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
  \rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P\lp\overline{A}\rp$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$B$}
  \rput(2.8,-0.5){$P_{\overline{A}}(B)$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C$}
%  \rput(2.8,-0.9){$p_4$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$D$}
  \rput(2.8,-1.4){$\dots$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex\bgmp[t]{10cm}
Calculer, à partir des données de l'arbre ci-contre, 
$P\lp A\cap B\rp$, $P_{\overline{A}}(D)$ et $P(B)$. 
\enmp\enex
\enmp\qquad
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(4,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$0,4$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.6){$0,3$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
  %\rput(2.5,0.4){$$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
  %\rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P\lp\overline{A}\rp$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$B$}
  \rput(3.1,-0.5){$0,7$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C$}
  \rput(3.1,-0.9){$0,2$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$D$}
  %\rput(2.8,-1.4){$\dots$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Dans un établissement scolaire, 20\% des élèves déclarent 
jouer plus de 3 heures par jour sur leur téléphone; 
parmi eux, 40\% sont des gar\c cons. 

On choisit un élève au hasard de cet établissement. 
On note $J$ l'événement "l'élève joue plus de 3h/jour", 
et $G$: "l'élève est un gar\c con". 

\bgen
\item Traduire par des probabilités sur $J$ et $G$ les données de 
  l'énoncé, et présenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré de 
  probabilité. 
\item Calculer $P\lp J\cap \overline{G}\rp$. 
\item L'établissement comporte 45\% de gar\c cons. \\
  Déterminer alors, arrondi à $10^{-2}$ près, 
  $P_{\overline{G}}(J)$. 
\enen
\enex


\bgex
Une maladie touche une personne sur 10 dans un pays. 
Un m\'edecin effectue le d\'epistage de cette maladie \`a l'aide d'un test
fourni par un laboratoire. 

Les caract\'eristiques, donn\'ees par le laboratoire, de ce test sont les
suivantes: 
\bgit
\item lorsque le patient sur lequel on effectue le test est malade, 
  le test est positif dans 90\% des cas; 
\item lorsque le patient sur lequel on effectue le test n'est pas
  malade, 
  le test est positif dans un cas sur 100 
  {\sl (c'est ce qu'on appelle un faux positif)}. 
\enit

On s'interesse à une personne au hasard dans la popuation. \\
On note les événements $M$: "la personne est malade" 
et $T$: "le test est positif". 

\bgen
\item Traduire l'énoncé en termes de probabilité et 
  dresser un arbre pond\'er\'e de probabilit\'e d\'ecrivant la situation. 
\item Quelle est la probabilit\'e qu'une personne soit malade et ait un
  test positif ? 
\item Quelle est la probabilit\'e qu'une personne prise au hasard
  dans la population ait un test positif ?

\item Le m\'edecin re\c coit un r\'esultat positif pour le test d'un
  patient. 
  Quelle est la probabilit\'e que ce patient soit malade ?
\enen
\enex

\bgex
Reprendre l'exercice précédent, pour une maladie touchant non pas une personne 
sur 10, mais touchant une personne sur 1000 (maladie rare): 
mon test est positif, quelle est la probabilité que je sois malade ? 
\enex

\bgex
Le tableau suivant donne des informations sur les comportements d'achat 
en ligne dans une population de 90 personnes. 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|p{3cm}|*3{p{2.8cm}|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&\bgmp{2.6cm}Achète parfois en ligne\enmp
&\bgmp{2cm}\ \\ N'achète jamais\enmp
&\bgmp{2cm}\ \\ Total\enmp \\\hline
Moins de 50 ans & 45 & 9 & 54 \\\hline
plus de 50 ans & 12 & 24 & 36 \\\hline
Total & 57 & 33 & 90 \\\hline
\end{tabular}\]
On interroge une de ces personnes au hasard.\\ 
On notera $M$:"la personne a moins de 50 ans" 
et 
$A$:"la personne achète parfois en ligne. 
\bgen
\item Quelle est la probabilité que cette personne ait moins de 50 ans ?
\item Quelle est la probabilité que cette personne ait moins de 50 ans 
  et achète parfois en ligne ? 
\item Sachant que la personne interrogée a moins de 50 ans, 
  quelle  est la probabilité qu'elle achète parfois en ligne ?
\item Sachant que la personne interrogée achète parfois en ligne, 
  quelle est la probabilité qu'elle ait moins de 50 ans ? 
\enen
\enex



\bgex
Une agence de voyage installe une pate-forme téléphonique 
afin de démarcher des clients et d'accro\^itre ainsi son activité. \\
Cette entreprise a dans son fichier de clients 
50\% de familles avec au moins un enfant, 35\% de familles sans enfant, 
et le reste de clients vivant seuls. 

\medskip
On estime que 10\% des familles avec au moins un enfant vont se décider 
pour un séjour avec l'agence de voyages, et que 80\% des familles sans enfant 
ne partiront pas avec l'agence de voyages. \\
Un employé de cette entreprise tire une fiche client au hasard. 

On considère les événements suivants: 
\bgen[]
\item $A$: "la fiche est celle d'une famille avec au moins un enfant"
\item $B$: "la fiche est celle d'une personne sans enfant"
\item $C$: "la fiche est celle d'une personne vivant seule"
\item $V$: "la fiche est celle d'un client qui partira avec l'agence"
\enen
\enex

\vspace{-5.3em}
\bgen
\item 
  \bgmp[t]{12cm}Reproduire et compléter autant qu'il est possible 
  l'arbre pondéré de probabilités suivant: 
  \enmp\qquad
  \bgmp{5cm}
  \[\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
  \begin{pspicture}(-.5,-3)(5,3)
  \psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)\psline(0,0)(1.5,0)
  \rput[l](1.65,1.5){$A$}
  \rput[l](1.65,0){$B$}
  \rput[l](1.65,-1.5){$C$}
  %
  \psline(3.5,1)(2,1.5)(3.5,2)
  \rput[l](3.65,2){$V$}\rput[l](3.65,1){$\overline{V}$}
  \psline(3.5,-.5)(2,0)(3.5,.5)
  \rput[l](3.65,.5){$V$}\rput[l](3.65,-.5){$\overline{V}$}  
  \psline(3.5,-1)(2,-1.5)(3.5,-2)
  \rput[l](3.65,-1){$V$}\rput[l](3.65,-2){$\overline{V}$}  
  \end{pspicture}\]
  \enmp

\vspace{-3.8em}
\item Exprimer par une phrase chacun des événements 
  $A\cap V$ et $A\cup V$. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Calculer la probabilité de l'événement $A\cap V$. 
  \item Calculer la probabilité de l'événement: 
    "La fiche est celle d'une famille sans enfant et elle partira pour 
    séjour avec l'agence". 
  \enen
\item On sait aussi que la probabilité de l'événement $C\cap V$ 
  est égale à 0,06. \\
  Calculer la probabilité de l'événement:  
  "la fiche est celle d'un client qui partira pour un séjour avec l'agence 
  sachant que c'est un client vivant seul". 
\enen


\bgex {\bf QCM} 

Un grand journal a fait réaliser l'année dernière une enqu\^ete 
sur un échantillon représentatif de la population fran\c caise 
agée de 18 à 35 ans,  
à propos des 
sources d'information. 

\medskip

\bgmp[b]{12.5cm}
Pour chaque personne, on note 
\bgit
\item[$T$:] "la personne a pour principale source d'information la télévision", 
\item[$R$:] "la personne a pour principale source d'information la radio"
\item[$I$:] "la personne a pour principale source d'information internet"
\item[$E$:] "la personne lit la presse écrite" 
\enit

L'enqu\^ete a donné les résultats présentés sur l'arbre pondéré ci-contre. 
\enmp\quad
\bgmp{6cm}
  \[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.1cm}
  \begin{pspicture}(-.5,-2.5)(5,0)
  \psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)\psline(0,0)(1.5,0)
  \rput[l](1.65,1.5){$T$}\rput(.8,1.3){$0,35$}
  \rput[l](1.65,0){$R$}\rput(.8,.2){$0,25$}
  \rput[l](1.65,-1.5){$I$}\rput(.8,-1.3){$0,4$}
  %
  \psline(3.5,1)(2,1.5)(3.5,2)
  \rput[l](3.65,2){$E$}\rput[l](3.65,1){$\overline{E}$}
  \rput(2.7,2){$0,4$}\rput(2.7,.95){$0,6$}
  \psline(3.5,-.5)(2,0)(3.5,.5)
  \rput[l](3.65,.5){$E$}\rput[l](3.65,-.5){$\overline{E}$}  
  \rput(2.7,.4){$0,6$}\rput(2.7,-.6){$0,4$}
  \psline(3.5,-1)(2,-1.5)(3.5,-2)
  \rput[l](3.65,-1){$E$}\rput[l](3.65,-2){$\overline{E}$}  
  \rput(2.7,-2){$0,25$}\rput(2.7,-1.05){$0,75$}
  \end{pspicture}\]
\enmp

Pour chacune des phrases suivantes, une seule des 
propositions est exacte. Indiquer laquelle.
\bgen
\item La probabilité qu'une personne ait pour principale source 
  d'information internet est égale à: \\
  a) 0,7 \hspace{2cm} b) 0,75 \hspace{2cm} c) 0,4

\item La probabilité qu'une personne lise la presse écrite sachant qu'elle a 
  pour principale source d'information la radio est égale à: \\
  a) 0,25 \hspace{2cm} b) 0,6 \hspace{2cm} c) 0,15

\item La probabilité qu'une personne ait pour principale source 
  d'information la télévision et qu'elle lise la presse écrite est égale à:\\
  a) 0,35 \hspace{2cm} b) 0,4 \hspace{2cm} c) 0,14

\item La probabilité qu'une personne ne lise pas la presse écrite 
  et qu'elle ait pour principale source d'information internet est égale à: \\
  a) 0,25 \hspace{2cm} b) 0,4 \hspace{2cm} c) 0,1

\item La probabilité qu'une personne lise la presse écrite est égale à: \\
  a) 0,14 \hspace{2cm} b) 0,59 \hspace{2cm} c) 0,6675

\enen
\enex


\bgex - {\bf Type Bac}\\
Une entreprise de textile emploie 300 personnes dans le secteur confection. 
Il est composé de trois ateliers.
L'atelier de stylisme est constitué de 50 personnes. 
L'atelier de découpe est constitué de 100 personnes. 
Le reste du personnel travaille dans l’atelier de couture.
Après une étude sur l'absentéisme, le directeur des ressources humaines 
a constaté que sur une année :
\bgen[$\bullet$]
\item 30\% des stylistes ont eu au moins une absence ;
\item 15\% du personnel de découpe ont eu au moins une absence ;
\item 90\% du personnel de l’atelier de couture n’ont pas eu d’absence.
\enen
On choisit une personne au hasard dans cette entreprise et l’on admet que chaque personne a la même probabilité
d’être choisie.
On note :
\bgit
\item $S$ l'évènement: 
  « la personne choisie travaille à l’atelier de stylisme » ;
\item $D$ l'événement: 
  « la personne choisie travaille à l’atelier de découpe » ;
\item $C$ l'événement: 
  « la personne choisie travaille à l’atelier de couture » ;
\item $A$ l'événement: 
  « la personne choisie a eu au moins une absence ».
\enit

Si $M$ et $N$ sont deux événements, 
on note $M$ l'événement contraire de l'événement $M$ et 
$p_N(M)$ la probabilité de l'événement $M$ sachant $N$.

\bgen
\item Déduire des informations de l’énoncé:
 \bgen[a)]
 \item Les probabilités $p(S)$, $p(D)$ et $p(C)$ 
   des événements $S$, $D$ et $C$.
 \item Les probabilités $p_S(A)$, $p_D(A)$ et $p_C\lp\overline{A}\rp$.
 \enen
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité de l’événement $S\cap A$, notée $p\lp S\cap A\rp$.
\item Démontrer que $p(A)=0,15$.
\item On sait que la personne choisie a eu au moins une absence cette année.
  Quelle est la probabilité que cette personne soit un styliste ?
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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