Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Baccalauréat de mathématiques STMG métropole, La Réunion, 2018},
pdftitle={Baccalauréat métropole, La Réunion, 2015 - STMG - Mathématiques},
pdfkeywords={Baccalauréat, bac, Mathématiques, terminale,
STMG, 2015, métropole, La Réunion}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Bac STMG - Métropole, La Réunion - 19 juin 2018}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
\bf\LARGE{orrigé du Bac STMG \\
Métropole, La Réunion \\
18 juin 2015}
\end{center}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global est:
$\dfrac{v_A-v_D}{v_D}=\dfrac{1177-868}{868}\simeq 0.3559=35.6\%$
\item La formule à saisir en $C4$ est $=(C3-B3)/B3$.
\item Entre 2011 et 2014 il y a 3 évolutions successives,
et donc le taux moyen $t_m$ est tel que:
$(1+t_m)^3=1+T=1,356$
et donc, $1+t_m=1.356^{\frac13}\simeq1,107$
d'où $t_m \simeq 1,107-1=0.107=10,7\%$
\item
\bgen[a)]
\item La cotisation en 2015 est alors de
$1177 \tm (1+10,7\%)=1177\tm1,107 \simeq 1303$ euros.
\item Le double de la cotisation de 2011 est $868 \times 2 = 1736$
La suite des valeurs des cotisations est une suite géométrique
de raison $1,107$.
Ainsi, $n$ années après 2014, le montant de la cotisation
est $1177\tm1,107^n$.
En calculant les termes successifs on trouve $u_4 \simeq 1768$. \\
C'est donc en 2018 que la cotisation aura doublé par rapport
à 2011.
\enen
\enen
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, on trouve l'équation
de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode
des moindres carrés:
$D : y = 10 x +460$
\item L'ordonnée à l'origine de cette droite est 460.
On peut de plus calculer les coordonnées d'un autre point
de la droite,
par exemple, pour $x=10$, on a $y=10\tm10+460=560$,
et donc la droite passe aussi par le point
$A(10;560)$.
\[\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,290)(16,920)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,300)(\n,900)}
\multido{\n=300+20}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=0, Oy=300,Dy=100]{->}(0,300)(16,920)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,468)(3,500)(4,497)(5,502)(6,526)
\psplot[linecolor=blue, linewidth=1.5pt]{0}{16}{x 10 mul 460 add}
\psdots[dotstyle=*,dotangle=45,dotscale=1.4,linecolor=blue](7,572)(8,701)(9,856)
\uput[u](7,572){\textcolor{red}{(2010)}}
\uput[u](8,701){\textcolor{red}{(2011)}}
\uput[u](9,856){\textcolor{red}{(2012)}}
\rput(10,560){\large$\tm$}\rput(10.3,550){$A$}
\end{pspicture}\]
\item 2011 correspond à $x=8$ et donc la superficie en 2011
est estimée par $10 \tm 8 + 460 = 540$,
soit 540 hectares.
\enen
\medskip
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Voir graphique précédent.
\item L'ajustement précédent ne semble pas valide:
les résultats observés en 2011 et 2012 sont assez loin
des résultats calculés à l'aide de la droite d'ajustement
précédente.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item Les résultats affichés par l'algorithme correspondent
aux superficies des années 2013, 2014, 2015, 2016 et 2017.
\item Donc la superficie certifiée de production biologique
en France en 2017 sera de $856 \times 1,22^5 = 2313,518188$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
\bigskip
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item
\bgen[a)]
\item Par lecture de l'énoncé $p(D)=0.35$ et $p_D(C)=0.55$
\item \[\psset{xunit=1.2cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(5,5)
\psline(1.8,2)(0,0)(1.8,-2)
\rput(2,2){\Large$D$}\rput(2,-2){\Large$\overline{D}$}
\psline(4,3.5)(2.2,2)(4,.5)
\rput(4.2,3.5){\Large$C$}\rput(4.2,.5){\Large$\overline{C}$}
\psline(4,-3.5)(2.2,-2)(4,-.5)
\rput(4.2,-.5){\Large$C$}\rput(4.2,-3.5){\Large$\overline{C}$}
\rput(.9,1.4){\Large0,35}
\rput(.9,-1.4){\Large0,65}
\rput(3.2,3.2){\Large0,55}
\rput(3.2,.5){\Large0,45}
\rput(3.2,-3.2){\Large0,80}
\rput(3.2,-.8){\Large0,20}
\end{pspicture}\]
\enen
\item
\bgen[a)]
\item L'événement \og le visiteur ne réside pas dans le
département d'implantation du parc et a acheté son billet
par Internet \fg, est l'événement
$\overline{D} \cap \overline{C}$ qui a pour probabilité : \\
$p(\overline{D} \cap \overline{C})= 0.65 \times 0.8=0.520$
\item L'événement \og un visiteur achète son billet en ligne \fg{}
est $\overline{C}$.
Sa probabilité est
$p(\overline{C})
=p(\overline{C} \cap D) + p(\overline{C} \cap \overline{D})
= 0.35 \times 0.45 + 0.52
=0.6775$
Or $0.6775 < \dfrac34$, donc l'argument du directeur est valable.
\enen
\enen
\bigskip
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice:
$p(150 \leqslant X \leqslant 170)=0.954499$
\item La probabilité que l'équipe de maintenance soit obligée
d'intervenir est $1-0.954499=0.0455001\simeq 0,045$.
\enen
\item La probabilité pour que l'équipe de maintenance soit obligée
de rajouter de l'eau dans le bassin à la fin
de la journée d'ouverture est, à l'aide de la calculatrice,
$p(X<150)\simeq 0,02275$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie C}
L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion $p$ est:
$\lb f - \dfrac {1}{\sqrt{n}}~;~f + \dfrac {1}{\sqrt{n}}\rb$
soit, avec $\frac{247}{625}=.3952$ et $n=625$,
l'intervalle de confiance $[ 0.3552~;~0.4352]$ .
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item L'image de 12 par la fonction $f$ est environ
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0 &
\textbf{b.~~} $760$ &
\textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{1410} &
\textbf{d.~~} 1900
\end{tabularx}
\medskip
\item $f'(5)$ est environ égal à
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 30$ &
\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{125} &
\textbf{c.~~} $- 125$ &
\textbf{d.~~} 1,25
\end{tabularx}
\medskip
\item L'une des quatre courbes suivantes représente la fonction
dérivée de $f$. Laquelle ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Courbe A&\textbf{b.~~} Courbe B\\
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-150)(36,330)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,0)(5,130)(10,205)(15,250)(20,260)(25,262)(30,270)(36,300)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{36}{x 3 exp 0.02 mul x dup mul 1.34 mul sub 32.36 x mul add}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-160)(36,330)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{36}{x 3 exp 0.09 mul x dup mul 5.52 mul sub 90.45 x mul add 200 sub}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,-150)(5,115)(12.5,240)(20,160)(25,75)(30,-5)(35,-50)
\end{pspicture}
\\
\textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{Courbe C} &\textbf{d.~~} Courbe D\\
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-160)(36,330)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{36}{x dup mul
0.63 mul 29.74 x mul sub 263 add}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-150)(36,330)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\psline[linecolor=cyan](0,-50)(36,102)
\end{pspicture}
\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
{\footnotesize
Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~36] par :
\[g(x) = 0,2 x^3 - 14,4x^2 + 259,2x + 295,2.\]
\begin{enumerate}
\item La fonction dérivée $g'$ de $g$ sur [0~;~36] est définie par :
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $g'(x) = 0,5x2 - 28,8x + 259,2$ &
\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{$g'(x) = 0,6x^2 - 28,8x + 259,2$}
\\
\textbf{c.~~} $g'(x) = 0,6x^2 - 28,8x + 554,4$ &
\textbf{d.~~} $g'(x) = 0,2x^2 - 144x + 554,4$
\end{tabularx}
\item Le maximum de $g$ sur [0~;~36] est :
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} 295,2 &
\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{1677,6} &
\textbf{c.~~} 12 &
\textbf{d.~~} 36
\end{tabularx}
\end{enumerate}
}
\label{LastPage}
\end{document}
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