Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du baccalauréat de mathématiques STMG Nouvelle Calédonie, mars 2019},
pdftitle={Correction du baccalauréat Nouvelle Calédonie, 2019 - STMG - Mathématiques},
pdfkeywords={Baccalauréat, correction, bac, Mathématiques, terminale,
STMG, 2019, Nouvelle Calédonie, corrigé}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Bac STMG - Corrigé - Nouvelle Calédonie, mars 2019}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
\bf\LARGE{Corrigé du Bac STMG \\
Nouvelle Calédonie \\
mars 2019}
\end{center}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré ci-dessous résume la situation:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$}\naput{$0,6$}}
{\TR{$D$}\naput{$0,01$}
\TR{$\overline{D}$} \nbput{\blue $1-0,01=0,99$}
}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$V$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$}}
{\TR{$D$}\naput{$0,03$}
\TR{$\overline{D}$} \nbput{\blue $1-0,03=0,97$}
}
}
\bigskip
\end{center}
\item $P(V \cap D)=P(V)\times P_{V}(D) = 0,4\times 0,03 = 0,012$.
\item La probabilité de choisir un modèle avec un défaut est $P(D)$.%égale à $0,018$.
D'après la formule des probabilités totales:
$P(D)= P(S\cap D) + P(V\cap D) = 0,6\times 0,01 + 0,012 = 0,06+0,012 = 0,018$.
\item La probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu'il présente
un défaut est la probabilité conditionnalle:
\[P_{D}(S)=\dfrac{P(S\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,006}{0,018}
=\dfrac13\simeq0,333\]
%On arrondira les réponses au millième.
\item
\psset{xunit=0.45cm,yunit=20cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(22,0.27)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=28,Dx=1,labels=none](0,0)(22,0.001)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psGauss[mue=11,sigma=1.5]{14}{22}
\psplot{22}{14}{0}
\closepath
}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue]{
\psGauss[mue=11,sigma=1.5]{8}{14}
\psplot{14}{8}{0}
\closepath
}
\psGauss[mue=11,sigma=1.5]{0}{22}
\rput(18,0.06){$P(X > 42) \approx 0,023$}
\multido{\n=0+1,\na=28+1}{23}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \na}}
\multido{\n=0+1}{23}{\psline(\n,-0.0005)(\n,0.0005)}
%%% corrigé
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](11,0)(11,0.27)
\rput(6,0.12){\blue $P(36<X< 42)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}[a)]
\item L'axe de symétrie de la courbe nous donne la pointure moyenne
$\mu=39$.
\item Par symétrie de la courbe, on a aussi $P(X<36)=P(X>42)\simeq0,023$
et alors la probabilité que la pointure d'une femme française soit comprise
entre $36$ et $42$ est
\[P(36\leqslant X \leqslant 42)\simeq 1 -2\tm0,023=0,954\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
\medskip
\[\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-50)(10.5,750)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+100}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(10.5,750)
\uput[d](8.5,-50){Nombre de kilogrammes}
\rput{90}(-1,500){Charges (en milliers d'euros)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 2 mul x dup mul 23 mul sub 90 x mul add 10 add}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.8pt,ArrowInside=->,arrowsize=7pt 3](5,0)(5,135)(0,135)
\uput*{9pt}[l](0,135){\red $135$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.8pt,ArrowInside=->,arrowsize=7pt 3](0,200)(7,200)(7,0)
\uput*{9pt}[d](7,0){\red $7$}
\end{pspicture}
\]
\medskip
\textbf{Partie A - Étude des charges}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Le montant des charges lorsque l'entreprise produit 5 kilogrammes
de safran est $C(5)=135$ milliers d'euros.
\item Le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant
des charges soit égal à 200\,000 euros est environ 7 (voir graphique).
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B - Étude du bénéfice}ø
\medskip
\begin{enumerate}
\item Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est $R(x)=50x$.
\item Le bénéfice $B(x)$, en milliers d'euros, est alors pour la vente de $x$ kilogrammes de safran:
\[B(x) = R(x)-C(x) = 50x - \left ( 2x^3 - 23x^2 + 90x + 10 \right )=- 2x^3 + 23x^2 - 40x - 10\]
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction B.
\begin{enumerate}[a)]
\item $B'(x) = -2\tm 3x^2 + 23 \tm 2x - 40 = -6x^2 + 46x - 40$
\item L'équation $B'(x) = 0$ est une équation du second degré
qui a pour discriminant
$\Delta = 46^2 - 4\tm(-6)\tm(-40) = 1156 = 34^2$
et qui admet donc
2 solutions sur l'intervalle
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-46+34}{2\times (-6)}=1$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-46-34}{2\times (-6)}=\dfrac{20}{3}$.
\item On dresse le tableau de variations de la fonction $B$
sur l'intervalle $\left [0~;~10\strut\right ]$.
Le trinôme du second degré $B'(x)$ admet deux racines,
donc il est du signe de $a$, donc négatif, à l'extérieur des racines;
\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |}
\hline
x & 0 & \esp & 1 & \esp & \frac{20}{3} & \esp & 10 \\
\hline
B'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
$B(0)=-10$, $B(1)=-20$, $B\left (\frac{20}{3} \right ) = \dfrac{4130}{27}\approx 153$ et $B(10) = -110$
On établit le tableau de variations de la fonction $B$ sur $\left [0~;~10\strut\right ]$:
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
x & 0 & \esp & 1 & \esp & \frac{20}{3} & \esp & 10 \\
\hline
B'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\
\hline
& \Rnode{max1}{-10} & & & & \Rnode{max2}{\approx 153} & & \\
B(x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
& & & \Rnode{min1}{-29} & & & & \Rnode{min2}{-110} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1}
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
\item Pour réaliser le bénéfice maximal, il faut vendre $\dfrac{20}{3}$ kilogrammes de safran, soit environ $6,667$~kg.
Le bénéfice maximal est, arrondi au millier d'euro, de $153$ milliers d'euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
\medskip
\[\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(6.25,34)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,34)}
\multido{\n=0.0+3}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40,Dy=3]{->}(0,0)(0,0)(6.25,34)
\uput[d](5.5,-1.5){Rang de l'année}
\uput[ur](3.5,15){\blue $D$}
\rput{90}(-0.75,27){Part des voitures diesel}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,33)(1,27)(2,24)(3,18)(4,12)(5,8)
%%% Corrigé
\psplot[linecolor=blue]{0}{6}{-5 x mul 73 add 40 sub}
\end{pspicture}\]
\medskip
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, on trouve l'équation de la droite
d'ajustement: $y=- 5x +72,9$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item La part des voitures diesel en 2018 correspond au rang $x=6$:
pour $x=6$, $y=-5\times 6 + 73 = 43$.
Selon ce modèle, la part des voitures diesel en 2018 est de $43$\,\%.
\item L'année à partir de laquelle on peut estimer que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à 25\,\% correspond à la valeur entière de $x$ telle que $-5x + 73 \leqslant 26$; on résout cette inéquation:
\[-5x + 73 \leqslant 26 \iff 73-25 \leqslant 5x \iff 48 \leqslant 5x \iff 9,6 \leqslant x\]
C'est donc à partir de $x=10$, donc de l'année 2022, que la part des voitures
diesel sera inférieure à 25\,\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
\medskip
\smallskip
\textbf{Partie A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Les ventes de smartphones ont progressé de $18,42$\,\% de 2011 à 2012.
Augmenter de $18,42$\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{18,42}{100}=1,1842$.
$1,14\times 1,1842$ qui a pour arrondi au dixième $13,5$.
On peut donc estimer à $13,5$ millions le nombre de smartphones vendus en 2012.
\item Le taux d'évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 est calculé par la formule
$\dfrac{18,2-15,8}{15,8}\approx 0,151899$ qui donne un taux, arrondi à $0,01\,\%$ égal à $15,19\,\%$.
\item Le taux d'évolution global des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est calculé par la formule
$\dfrac{20,5 - 11,4}{11,4} \approx 0,7982$ qui donne un taux de $79,82$\,\%.
\item Le taux d'évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre
2011 et 2015, donc sur 4 années, est le nombre $t$ tel que
$(1+t)^{4} = 1,7982$ donc $t=1,7982^{\frac{1}{4}}-1$ ce qui fait, arrondi à l'unité, 16\,\%.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On obtient $u_1$ en ajoutant $16\,\%$ à $u_0$, donc en multipliant par $1+\dfrac{16}{100}$ soit $1,16$:
$u_1=1,16\times u_0 = 1,16\times 20,5 = 23,78$.
On peut donc estimer à $23,78$ millions le nombre de smartphones vendus en 2016.
\item Augmenter de $16\,\%$ revient à multiplier par $1,16$
donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=1,16 u_n$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,16$.
\item On a donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\tm q^n = 20,5 \tm 1,16^{n}$.
\item Comme $2020=2015+5$, une estimation du nombre de smartphones
vendus en France en 2020 est
$u_5= 20,5 \tm 1,16^{5} \simeq 43,057\simeq43,1$ millions.
\end{enumerate}
\label{LastPage}
\end{document}
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