Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
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STMG, 2010, métropole, La Réunion}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Bac STMG - Métropole, La Réunion - 22 juin 2010}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center} {\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - France, 22 juin 2010}}
\bigskip
\hspace{2.85cm}
\bgmp{15cm}
{\large {\gray Spécialités:
\bgmp[t]{13.1cm}
\bgit
\item[] Mercatique (coefficient : 3)
\item[] Comptabilité et finance d'entreprise (coefficient : 3)
\item[] Gestion des systèmes d'information (coefficient : 4)
\enit
\enmp
}}
\enmp
\vspace{0.5cm}
{\gray \rule{14cm}{.5pt}}
\end{center}
\bigskip
\ct{\large{\textbf{Exercice 1 (5 points)}}}
\bigskip
On s'intéresse au nombre de clients ayant accès à l'internet haut
débit en France.
On a pris pour indice de référence 100 en décembre 2007.
On dispose des renseignements suivants :
\bigskip
\hspace{-0.6cm}
\begin{tabular}{|p{6.cm}|*{8}{c|}}\hline
&déc-01 &déc-02 &déc-03 &déc-04 &déc-05 &déc-06 &déc-07 &déc-08 \\ \hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{\bgmp{6cm}Nombre de clients ayant accès
à\\ l'internet haut débit, en milliers\enmp} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{604}&&
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{3\,626} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{6\,562} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{9\,465} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{12\,711} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{15\,752} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{17\,691} \\ \hline
Indice& 3,8 &10,8 &23,0 &41,7 &60,1 &80,7 &100,0 &112,3\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{(Sources: France Telecom et ARCEP) }}
\end{tabular}
\medskip
\begin{center}\emph{Les pourcentages demandés seront arrondis à $1\:\%$.} \end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à
l'internet haut débit en France en décembre 2002.
\bigskip
\item Donner le taux d'évolution du nombre de clients ayant accès à
l'internet haut débit de décembre 2007 à décembre 2008.
\bigskip
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du nombre de clients ayant accès
à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008.
\bigskip
\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de clients
ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre
2008.
\bigskip
\item On suppose qu'en 2009 l'évolution s'est poursuivie avec le
taux annuel calculé au 3. b.
\medskip
Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à
l'internet haut débit en décembre 2009.
\end{enumerate}
\bigskip
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même
incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en
compte dans l'évaluation.}
\bigskip
On s'interroge sur la pertinence de la supposition faite à la question
3. c. Pour cela, on calcule les taux d'évolution annuels suivants :
\bigskip
\medskip
\begin{tabular}{|p{7.5cm}|*{3}{p{2.8cm}|}}\hline
&\small De décem\-bre-04 à décembre-05&
\small De décembre-05 à décembre-06&\small De décembre-06 à
décembre-07\\ \hline
\begin{tabular}{l}Taux d'évolution du nombre de clients\\
ayant accès à l'internet haut débit\\
\end{tabular} &
\ct{+44\:\%} &
\ct{+34\:\%} &
\ct{+24\:\%}\\ \hline
\end{tabular}
\medskip
\bigskip
La supposition faite dans la question 3. c. vous paraît-elle pertinente ?
\end{enumerate}
\clearpage
\ct{\large{\textbf{Exercice 2 (4 points)}}}
\bigskip
{\it Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre
correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée.
\medskip
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève
$0,25$~point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de
point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à
l'exercice est ramenée à $0$.}
\bigskip
\fbox{
\begin{minipage}{\textwidth}
\ct{\it Formulaire :}
\medskip
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I,
alors la fonction $uv$ est dérivable sur l'intervalle I et
$(uv)'= u'v + uv'$.
\medskip
\end{minipage}}
\bigskip
\noindent
On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
\[f(x) = (2 + x)\text{e}^x \quad \text{et}\quad g(x) = 2x\text{e}^x.\]
\noindent
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$ et $g'$
la fonction dérivée de la fonction $g$ sur~$\R$.
\noindent
On a tracé, en annexe 1, trois courbes
$\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$.
\noindent
Parmi elles, figure la représentation graphique de chacune des
fonctions $f$ et $g$.
\bigskip
\begin{enumerate}
\item $f(0)$ est égal à :
\bigskip
\begin{tabular}{*{3}{p{5cm}}}
\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~} 2& \textbf{c.~~} $- 2$\\
\end{tabular}
\bigskip\bigskip
\item La représentation graphique de la fonction $g$ est :
\bigskip
\begin{tabular}{*{3}{p{5cm}}}
\textbf{a.~~} $\mathcal{C}_{1}$&\textbf{b.~~} $\mathcal{C}_{2}$& \textbf{c.~~} $\mathcal{C}_{3}$\\
\end{tabular}
\bigskip\bigskip
\item Pour tout nombre réel $x,~g'(x)$ est égal à :
\bigskip
\begin{tabular}{*{3}{p{5cm}}}
\textbf{a.~~} $2\text{e}^x$&\textbf{b.~~} $(2x + 2)\text{e}^x$& \textbf{c.~~} $2 + \text{e}^x$\\
\end{tabular}
\bigskip\bigskip
\item On admet que, pour tout nombre réel
$x,~f'(x) = (3 + x)\text{e}^x$. La fonction $f$ est :
\bigskip
\begin{tabular}{*{2}{p{5cm}}p{7cm}}
\textbf{a.~~} croissante sur $\R$&\textbf{b.~~} décroissante sur $\R$& \textbf{c.~~} ni décroissante ni croissante sur $\R$\\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\clearpage
\ct{\large{\textbf{Exercice 3 (5 points)}}}
\bigskip
Sur un site internet, on trouve les données suivantes qui concernent le Tour de France.
\medskip
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}\hline
Année & \hspace{1cm}2006\hspace{1cm} &
\hspace{1cm}2007\hspace{1cm} &
\hspace{1cm}2008\hspace*{1cm}\\ \hline
Nombre de participants
& 176 &189 &180\\ \hline
Nombre d' "épinglés"$^*$
&45 &38 &26 \\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{(Source: cyclisme-dopage.com)}}\\
\end{tabular}
\medskip
{\it* La catégorie \og épinglés \fg{} est constituée par les coureurs
ayant été contrôlés positifs (y compris par constat de carence ou
par constat d'un hématocrite supérieur à 50\:\%), ayant reconnu
s'être dopé et ayant été sanctionnés (par la justice, leur
fédération ou leur équipe) dans le cadre d'affaires liées au
dopage.}
\bigskip
\noindent
\textbf{Première partie : Traitement des données sur tableur}
\medskip
On reporte ces données dans une feuille de calcul, afin de les compléter :
\medskip
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
&A&
\hspace*{1cm}B\hspace*{1cm} &
\hspace*{1cm}C\hspace*{1cm} &
\hspace*{1cm}D\hspace*{1cm} &
\hspace*{1cm}E\hspace*{1cm}\\ \hline
1&Année&2006&2007&2008&2009\\ \hline
2&Nombre de participants &176&189&180&545\\ \hline
3&Nombre d' "épinglés"&45&38&26&109\\ \hline
4&Nombre de "non épinglés"&&&&436\\ \hline
5&Taux d' "épinglés" & 25,6\:\%&&&\\ \hline
\multicolumn{6}{c}{La plage de cellule B5:E5 est au fornat pourcentage
à une décimale.}\\
\end{tabular}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet par recopie
vers la droite d'obtenir le contenu des cellules de la plage B4:D4.
\bigskip
\item Donner une formule qui, entrée en cellule E2, a permis par
recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage
E2:E4.
\bigskip
\item Donner une formule qui, entrée en cellule B5, permet par recopie
vers la droite d'obtenir le contenu des cellules de la plage B5:E5.
\bigskip
\item Calculer la valeur affichée dans la cellule C5.
\end{enumerate}
\bigskip
\noindent
\textbf{Deuxième partie: Probabilités}
\bigskip
Pour chacune des années 2006, 2007 et 2008, on dispose pour chaque
participant d'une fiche sur laquelle figurent l'année, le nom du
participant, et la mention\og épinglé\fg ou bien \og non-épinglé
\fg. Ainsi un même participant peut figurer sur plusieurs fiches s'il
a participé au tour de France plusieurs fois parmi les années 2006,
2007 ou 2008.
Toutes les fiches sont mélangées, et on en choisit une au hasard.
On définit les év\`enements suivants :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] D : \og la fiche est une fiche du Tour de France de l'année 2008 \fg ; \item[] E : \og la fiche porte la mention \og épinglé \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au centième.}\end{center}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement D.
\item Calculer la probabilité de l'événement D\ $\cap$ E.
\item Calculer la probabilité, sachant D, de l'événement E.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement E.
\item Calculer la probabilité, sachant que la fiche choisie porte la mention \og épinglé \fg, que ce soit une fiche de l'année 2008.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\ct{\large{\textbf{Exercice 4 (6 points)}}}
\bigskip
Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de personnes, enfants et
adultes, vivant avec le VIH/SIDA (Virus de l'Immunodéficience
Humaine/Syndrome Immuno-Déficitaire Acquis) au Sénégal.
\bigskip
\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}
\medskip
Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 :
\medskip
\begin{tabular}{|c|*{11}{c|}}\hline
Année &\small 1996 &\small 1997 &\small 1998 &\small 1999 &\small 2000 &\small 2001 &\small 2002 &\small 2003 &\small 2004 &\small 2005 &\small 2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
\begin{tabular}{l}Estimation du nombre de\\ personnes vivant avec le
VIH\\ au Sénégal (en milliers) $y_{i}$\\
\end{tabular}
&9 &11 &13 &16 &20 &24 &29 &35 &41 &49 &57\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\emph{(Source: UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/A1DS))}}
\end{tabular}
\medskip
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, pour $i$ variant de $0$ à $10$, est donné en annexe 2 à rendre avec la copie.
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).
\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 4,8x + 3,9$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique figurant sur l'annexe 2.
\item En utilisant cet ajustement affine, estimer le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B: Étude d'un deuxième modèle}
\medskip
Le taux d'évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années 1996 et 2006 est d'environ 20\:\%.
\medskip
On décide alors de modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique de raison $1,2$.
\medskip
Pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ désigne une estimation du nombre de personnes, en milliers, vivant avec le VIH au Sénégal pendant l'année $1996 + n$.
Ainsi $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 9$ et de raison $1,2$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Déterminer, d'après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en 2007.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie C : Exploitation des modèles}
\medskip
Des experts ont estimé qu'en 2007 il y avait 67\,000~personnes vivant avec le VIH au Sénégal.
\begin{enumerate}
\item Lequel des deux modèles étudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévision pour 2007 ?
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}
\medskip
En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépassera $100$~milliers.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}
\vspace{0.5cm}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-6.1)(2.51,17.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-6)(2.5,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](-4,-6)(3,17)
\multido{\n=-3.75+0.50}{14}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,-6)(\n,17)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-4}{1.5}{2 x mul 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.2}{2.5}{5 x mul }
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-4}{1.5}{2 x add 2.71828 x exp mul}
\uput[l](1,8){\textcolor{green}{$\mathcal{C}_{2}$}}
\uput[ul](-1,-5){\textcolor{red}{$\mathcal{C}_{3}$}}
\uput[d](-2.5,-0.5){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture*}
\clearpage
\textbf{Annexe 2, \`a rendre avec la copie}
\vspace{2cm}
\hspace{1.5cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(12,107.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(12,107.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,107.5)}
\multido{\n=0.0+2.5}{44}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(12,\n)}
\uput[d](6,-6){Rang de l'année}
\rput{90}(-1,53.5){Nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal (en milliers)}
\psdots[dotscale=1.5](0,9)(1,11)(2,13)(3,16)(4,20)(5,24)(6,29)(7,35)(8,41)(9,49)(10,57)
\end{pspicture}
\end{center}
\label{LastPage}
\end{document}
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