Source Latex: Cours de mathématiques en Terminale STI2D


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Description
Cours de mathématiques en terminale STI2D: Compléments sur les dérivées et primitives
Niveau
Terminale STI2D
Table des matières
  • Rappels: dérivées, tangentes et sens de variation
  • Calcul de dérivées
    • Dérivées des fonctions usuelles
    • Opérations sur les dérivées
    • Compléments: dérivation d'une fonction composée
  • Primitives
  • Exercices et problèmes
Mots clé
Cours de mathématiques, maths, fonctions, dérivées, primitives, STI, STI2D, terminale, TSTI2D
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques TSTI2D: Complément sur les dérivées et primitives},
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    pdfkeywords={Mathématiques, dérivées, primitives, TSTI2D, terminale, STI, STI2D}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}


\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm
%\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propriétés \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Compléments sur les dérivées - Primitives}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\newcommand{\Cnp}[2]{%
  \mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$

\section{Rappels: dérivée, tangentes et sens de variation}



\noindent
\bgmp{10cm}
\bgprop{}
\sl{
  $\bullet$ Le nombre dérivée d'une fonction $f$ en $a$, 
  noté $f'(a)$, est le coefficient directeur de la tangente à la
  courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$. 

  Si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante; 
  si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante; 

  \medskip
  $\bullet$ Le signe de la fonction dérivée $f'$ donne le sens de
  variation de la fonction $f$: sur un intervalle $I$, 
  \bgit
  \item si $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$, $f$ est strictement
    croissante sur $I$
  \item si $f'(x)<0$ pour tout $x\in I$, $f$ est strictement
    décroissante sur $I$
  \enit
}
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2)
  %\multido{\i=-4+1}{10}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  %}
  %\multido{\i=-3+1}{8}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  %}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(4.8,3.4){$\Cf$}
  %
  \psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add}
  \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3)
  \rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$}
  %
  \psplot{-3.5}{3.4}{-1}
  \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
  \rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$}
  %
  \psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add}
  \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25)
  \rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$}
\end{pspicture}
\enmp



\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-2.5cm}
\bgex
$\Cf$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. 

$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\Cf$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. 

\vspt
Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$. 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=.7cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
  \psline[linewidth=1.3pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
  \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-3+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(5.6,3.4){$\Cf$}
  %
  \psplot{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
  \psplot{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
  \psplot{-0.8}{5.1}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgprop{L'équation de la tangente à la courbe représentative d'une
  fonction $f$, dérivable en $a$, au point d'abscisse $a$ est 
  $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. 
}

\bgex
Soit $f$ la fonction définie par l'expression 
$f(x)=2x^2-x-1$. 

\bgen
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$. 
\item Déterminer les équations des tangentes à la courbe
  représentative de $f$ aux points d'abscisse $a=1$ et $a=0$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Tracer dans un repère les deux tangentes précédentes et l'allure
  de la courbe représentative de $f$. 
\enen
\enex


\section{Calcul de fonctions dérivées} 

\subsection{Dérivées des fonctions usuelles}

\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction $f$} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
  \bgmp{2.4cm}
  $f$ est définie sur 
  \enmp 
}&
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
  \bgmp{2.65cm}
  $f$ est dérivable sur 
  \enmp 
}
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=k$ (constante)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=0$} & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline 

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=x$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=1$}  & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} &
%\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^2$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=2x$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^n$\ \ ($n\in\N$)} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=nx^{n-1}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\dfrac{1}{x}$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline

\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\sin\lp\omega t+\varphi\rp$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=\omega\cos\lp\omega t+\varphi\rp$} & 
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\cos\lp\omega t+\varphi\rp$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=-\omega\sin\lp\omega t+\varphi\rp$} & 
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Opérations sur les dérivées}
\vspd

\noindent
$u$ et $v$ désignent deux fonctions quelconques, définies et
dérivables sur un intervalle $I$. 

%\vspd
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} 
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}  
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}  
\\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}  
\\\hline 

\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{u}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp -\frac{u'}{u^2}$} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}


\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3$
  &b) $f(x)=3x$ 
  &c) $f(x)=\dfrac52 x$
  &d) $f(x)=x^2$
  \\[0.4cm]
  e) $f(x)=x^7$ 
  &f) $f(x)=2x^3$
  &g) $f(x)=3x+2$
  &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
  \\[0.4cm]
  i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
  &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
  &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
  &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
  \\[0.4cm]
  %m) $f(x)=2x^5+\sqrt{x}$ 
  %&n) $f(x)=(3x+2)x^2$
  %&o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
  %&p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$

\end{tabular}
\enex

\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par l'expression 
$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$. \\
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de
$f$ au point d'abscisse $1$. 
\enex

\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression 
$f(x)=\dfrac{4x^2}{x^2+1}$. \\
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de
$f$ au point d'abscisse $2$. 
\enex



\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions suivantes
(préciser les limites): 

\noindent
a) $f(x)=2x^2+4x-3$ 
\quad
b) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
\quad
c) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
\quad
d) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$

\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=-x^3+6x^2-10$. 

\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. 
\enex



\noindent
\bgmp{13.1cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne ci-contre le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hfill%\hspace{0.2cm}
\bgmp{5.4cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline 
  &&& $0$ && && $3$\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && 
  \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
  \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
  $0$&\\
  & $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$, 
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, 
par l'expression 
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]

A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit 
minimale ? 
\enex

\bgex
La puissance mécanique d'un moteur est donnée, 
en fonction de l'intensité $I$ du courant d'alimentation, 
par la relation 
$P=-2I^2+150I-148$. \\
Déterminer la valeur de l'intensité $I$ pour laquelle la puissance est
maximale. 
Préciser alors cette puissance. 
\enex



\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+x+1$. \\
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$. \\
Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. 
\enex


\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3-3x-1$. \\
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$,  $]-1;1[$ et $]1;2[$. \\
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.  
\enex


\subsection{Compléments: dérivation d'une fonction composée}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
$f(x)=(-3x+2)^2$. 

$f$ peut s'écrire $f=u^2$, avec la fonction affine 
$u$ définie par $u(x)=-3x+2$. 

Comme $u^2=u\tm u$, et en dérivant ce produit, on obtient: 
\[f'=(u\tm u)'=u'u+uu'=2u'u\]
soit, avec $u'(x)=-3$, $f'(x)=2(-3)(-3x+2)$. 

\bigskip 
De même, si $g(x)=(-3x+2)^3$, 
alors $g=u^3$, et en dérivant le produit 
$g=u^2\tm u$, on obtient 
\[g'=\lp u^2\tm u\rp'=\lp u^2\rp'\tm u+u^2\tm u'
=2u'u\tm u+u^2\tm u'=3u'u^2\]
et ainsi, $g'(x)=3(-3)(-3x+2)^2=-9(-3x+2)^2$. 

\bigskip
Ces formules se généralisent dans le théorème admis suivant:

\bgth{
  Soit $n$ un entier relatif et $u$ une fonction dérivable sur un
  intervalle $I$, et ne s'annulant pas sur $I$ si $n$ négatif, 
  alors on a sur $I$: 
  \[\lp u^n\rp'=nu'\,u^{n-1}\]
}

\bgex
Calculer la dérivée $f$ de la fonction $f$ dans chacun des cas: 
\medskip

\noindent
a)$f(x)=(2x-6)^2$\quad
b)$f(x)=(-3x+2)^5$\quad
c)$f(x)=\lp x^2-x\rp^3$\quad
d)$f(x)=(2x-3)^{-2}$\quad
f)$f(x)=\lp \dfrac{2x}{x+1} \rp^3$\quad
\enex

\bgth{
  Soit une fonction $u$ dérivable, 
  et $a$ et $b$ deux réels,  alors la fonction $f$ 
  définie par \mbox{$f(x)=u(ax+b)$}, est dérivable avec 
  $f'(x)=a\,u'(ax+b)$. 
}

\bigskip\noindent
Exemple: 
$f(x)=\cos\lp 3x-2\rp$; 
$f(x)=u(3x-2)$, avec $u(x)=\cos(x)$, et $u'(x)=-\sin(x)$. 

Ainsi, $f'(x)=-3\sin(3x-2)$

\bigskip\noindent
Les résultats précédents se généralisent par: 

\bgth{
  Soit $f$ une fonction définie par 
  $f(x)=u(v(x))$, 
  où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, 
  alors $f'(x)=v'(x)\tm u'(v(x))$. 
}

Ce théorème généralise le précédent, avec 
$v(x)=ax+b$. 


\bgex Calculer la dérivée $f$ de la fonction $f$ dans chacun des cas: 
\medskip

\noindent
a) $f(x)=\cos\lp -3x+\dfrac{\pi}{3}\rp$
\quad
c) $f(x)=\sin(2x)$
\quad
b) $f(x)=\sin^2\lp3x+\dfrac{\pi}{6}\rp$
\quad
d) $f(x)=\cos\lp 3x^2+2x\rp$
\enex



\section{Primitive d'une fonction}

\bgdef{Une fonction $F$ est une primitive sur un intervalle~$I$ de la
  fonction $f$ si $F$ est dérivable sur $I$ et que $F'=f$. 
}

\medskip\noindent
Exemples:  \\
$\bullet$ $F:x\mapsto x^2$ est une primitive sur $\R$ de $f:x\mapsto 2x$
\\
$\bullet$ $G:x\mapsto x^2+6$ est aussi une primitive sur $\R$ de
$f:x\mapsto 2x$ 

\bgth{Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors
  l'ensemble des primitives de $f$ est constitué des fonctions 
  $F+k$, où $k$ est une constante réelle. 
}

\medskip\noindent
Exemple: Une primitive de la fonction $f$ définie par 
$f(x)=3x^2-4$ est $F(x)=x^3-4x$. \\
Toutes les primitives de $f$ sont donc les fonctions qui peuvent
s'écrire sous la forme $x\mapsto x^3-4x+k$, où~$k$ est une contante
réelle. 

\bgex
Déterminer les primitives des fonctions suivantes: 

\medskip\noindent
\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3x-4$
  &b) $f(x)=2x^2-3x+12$ 
  &c) $f(x)=6x^2+1$
  &d) $f(x)=x^3-2x^2+x$
  \\[0.2cm]
  e) $f(x)=x^7$ 
  &f) $f(x)=2x^3-\dfrac12x$
  &g) $f(x)=2x-4-\dfrac{1}{x^2}$
  &h) $f(x)=4x^2+\dfrac{4}{x^2}$
  \\[0.2cm]
  i) $f(t)=\sin(t)$ 
  &j) $f(t)=\sin(3t)$
  &k) $f(x)=2\cos\lp3x+\dfrac{\pi}{12}\rp$
  &l) $f(x)=-4\cos\lp -3x\rp$
  \\[0.2cm]
  k) $f(x)=(2x-1)^3$ 
  &l) $f(x)=(2x+1)\lp x^2+x\rp^4$
  &m) $f(x)=x\lp x^2+1\rp^3$
  &n) $f(x)=\dfrac{2x}{\lp x^2+3\rp^2}$
\end{tabular} 
\enex

\bgprop{Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un
  intervalle $I$. 

  Parmi les primitives de $f$ sur $I$, il en existe une et une seule
  prenant une valeur donnée $y_0$ en $x_0$, 
  c'est-à-dire telle que $f\lp x_0\rp=y_0$. 
}

\bgex
Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie par 
$f(x)=3x^2+3$ telle que $F(1)=2$. 
\enex

\bgex
Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie par 
$f(t)=4\sin\lp 2t+\dfrac{\pi}{3}\rp$ telle que $F(0)=3$. 
\enex





\section{Exercices \& problèmes}

\bgex

\noindent
\bgmp{10cm}
Ci-contre est donnée la courbe représentative d'une fonction $f$
définie et dérivable sur $\R$. 

\bgen
\item\bgen[a)] 
\item Lire sur le graphique les valeurs entières 
  de $f(1)$, $f(3)$, $f'(4)$. 

\item Déterminer le signe de $f'(2)$ et de $f(2)$. 
\enen
\item Parmi les trois courbes ci-dessous, une seule est la courbe
représentative d'une primitive de la fonction $f$. 
Laquelle ?
\enen
\enmp\quad
\bgmp{6.2cm}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-4.8)(9,4)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,0)(9.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-4.4)(0,4.4)
  \multido{\i=1+1}{8}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-4.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-1,\i)(9.2,\i)
  }
  \rput(-.2,-.2){0}
  \rput(-.2,1.25){1}
  \rput(1.15,-.35){1}
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{9}{-0.25 x 2 exp mul 2 x mul add 1.75 sub}
  \psline{<->}(2.3,2.25)(5.7,2.25)
\end{pspicture}
\enmp

\psset{xunit=.6cm,yunit=.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.1,-4)(9.2,5)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,0)(9,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-4.4)(0,4.4)
  \multido{\i=1+1}{8}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-4.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-1,\i)(9,\i)
  }
  \rput(-.2,-.2){0}
  \rput(-.2,1.25){1}
  \rput(1.15,-.35){1}
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{8.}{0.32 3 div x 3 exp mul  x x mul sub 
    1.75 x mul add}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1.2,-4)(9.2,5)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,0)(9,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-4.4)(0,4.4)
  \multido{\i=1+1}{8}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-4.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-1,\i)(9,\i)
  }
  \rput(-.2,-.2){0}
  \rput(-.2,1.25){1}
  \rput(1.15,-.35){1}
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{9}{-0.25 3 div x 3 exp mul  x x mul add
    1.75 x mul sub 3 sub}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1.2,-4)(9,5)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,0)(9,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-4.4)(0,4.4)
  \multido{\i=1+1}{8}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-4.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-1,\i)(9,\i)
  }
  \rput(-.2,-.2){0}
  \rput(-.2,1.25){1}
  \rput(1.15,-.35){1}
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{9}{
    -0.25 3 div x -2.3 add .79 mul 3 exp mul  
    x -2.3 add .79 mul x -2.3 add .79 mul mul add
    1.75 x -2.3 add .79 mul mul sub 
    -3 add
  .5 mul}
\end{pspicture}
\enex


\noindent
\bgmp{12cm}\bgex
On considère le circuit ci-contre dans lequel $E$ et $r$ sont des
constantes et $R$ une résitance variable. 

La puissance dissipée dans la résistance $R$ est 
$P=\dfrac{RE^2}{(R+r)^2}$. 

Déterminer, en fonction de $E$ et $r$, la valeur de $R$ pour
laquelle la puissance est maximale. 
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=.9cm,yunit=.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(0,-1.87)(6,2.8)
\psline(1,2)(0,2)(0,0)(3,0)
\pspolygon(3,-.3)(3,.3)(4,.3)(4,-.3)
\rput[c](3.5,0){$R$}
\psline{<-}(3.5,-.3)(3.5,-1.5)(6,-1.5)(6,2)(4,2)
\pspolygon(3,1.7)(3,2.3)(4,2.3)(4,1.7)
\rput[c](3.5,2){$r$}
\psline(3,2)(1.2,2)
\psline(1,1.85)(1,2.15)
\psline(1.2,1.6)(1.2,2.4)
\rput[c](1.1,2.6){$E$}
\psline{->}(0,0.8)(0,1)\rput(.3,.8){$i$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex \textbf{Optimisation de la circulation routière}

Des études ont montré que, dans une file de voitures se dépla\c cant à
la vitesse constante de $V \text{km/h}$, la distance minimale de
sécurité est donnée par la formule 
$d=\dfrac{V(50+V)}{200}$. 

Une file de voitures se déplace sur l'autoroute. 
On admet que chaque voiture mesure en moyenne 3 mètres de long et que
deux voitures consécutives sont séparées exactement par la distance
minimale de sécurité. 

Afin d'évaluer le trafic routier, un appareil de mesure placé sur le
bord de la chaussée permet de décompter le nombre de véhicules qui
passent devant lui. 

\bgen
\item Les voitures de la file se déplacent à 110 km/h. 
  Calculer le nombre de voitures qui passent en une heure devant
  l'appareil de mesure. 
\item Montrer que pour unr vitesse $V$ km/h le nombre de voitures
  passant devant l'appareil de mesure est 
  $N=\dfrac{200\,000V}{V^2+50V+600}$. 

\item Pour quelle vitesse $V$, ce nombre $N$ est-il maximal ?
\enen
\enex
\bgex \textbf{Accélération \& vitesse, départ arrêté}

Une voiture effectue la distance 0-1000 mètres, départ arrêté, en 60
secondes. Le mouvement du véhicule est supposé rectiligne et
uniformément accéléré, c'est-à-dire que son accélération est constante
durant les 60 secondes. 

Déterminer l'accélération du véhicule et sa vitesse au bout des 1000
mètres. 

\medskip
\textsl{(Rappel: l'accélération $\gamma$ est la dérivée de la vitesse
  $v$; la vitesse $v$ est la dérivée de la position).}
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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