Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D,
équations différentielles
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\bgproof}[1]{%
\vspt\noindent%
\ul{Démonstration:} #1%
\hfill$\square$%
}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\medskip{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
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\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Equations différentielles}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $TSTI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$
\section{Introduction - Exemples de problème}
\paragraph{Décharge d'un condensateur}
On considère le circuit RC suivant: \\
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,-2.8)(5,2.4)
\psline(0,0.1)(0,2)(5,2)(5,1.6)
\pspolygon(4.7,1.6)(5.3,1.6)(5.3,-1.6)(4.7,-1.6)
\rput(5,0){$R$}
\psline{->}(5.7,-1.7)(5.7,1.7)
\rput(6,0){$u$}
\psline(0,-0.1)(0,-2)(2,-2)(2.5,-2.5)
\psline(2.5,-2)(5,-2)(5,-1.6)
\psline(-0.4,0.1)(0.4,0.1)
\psline(-0.4,-0.1)(0.4,-0.1)
\rput(0.7,0){$C$}
\psline{->}(3,2)(3.3,2)\rput(3.2,2.5){$i$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{11.cm}
On a les relation
$u(t)=Ri(t)$
et $i(t)=-\dfrac{dq}{dt}=-q'(t)$
avec la charge $q(t)=Cu(t)$.
Ainsi, $u(t)=Ri(t)=R\Bigl( Cu(t)\Bigr)'$,
\medskip
soit encore l'équation
\[(E):\ RCu'(t)+u(t)=0\]
\enmp
\noindent\bgmp{17cm}
\paragraph{Parachute}
Dans le vide, la vitesse d'un objet de masse $m$
soumis à son seul poids $P=mg$
vérifie l'équation (principal fondamental de la dunamique):
$mv'(t)=mg$, soit aussi $v'(t)=g$.
\enmp\hfill
\bgmp{1.5cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\pspolygon(-.2,0)(.2,0)(.2,1)(-.2,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-1)
\rput(.5,-.5){$\V{P}$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
\bgmp{15cm}
Si on considère maintenant les frottements de l'air sur l'objet,
une force supplémentaire, proportionnelle à la vitesse de l'objet,
s'oppose à son déplacement. \\
La vitesse de l'objet est maintenant solution de
l'équation
\[(E):\ mv'(t)+kv(t)=mg\]
\enmp
\bgmp{4.1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-3)(2,3.2)
\psarc(0,1){2}{20}{160}
\psarc(-1.2,1.1){0.9}{48}{140}
\psarc(0,1.1){0.9}{48}{132}
\psarc(1.2,1.1){0.9}{40}{132}
\psline(0,-1)(-1.89,1.68)
\psline(0,-1)(1.89,1.68)
\psline(0,-1)(0.6,1.78)
\psline(0,-1)(-0.6,1.78)
\pspolygon(-0.2,-1)(0.2,-1)(0.2,-1.6)(-0.2,-1.6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1.6)(0,-3.5)\rput(0.4,-2.3){$\V{P}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1)(0,1)\rput(0.2,1){$\V{F}$}
\end{pspicture}
\enmp
\paragraph{Objet retenu par un ressort.}
On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet qui peut
coulisser sans frottement sur un plan.
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.8,-1.5)(6.5,1.2)
\newcommand{\f}[1]{#1 2 add}
\psline(-0.5,0)(7,0)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-0.5)(! \f{\i}\space 0)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-.3,0)(-.3,0.8)(0,0.8)(0,0)
\psline(0,0.4)(0.4,0.4)(0.5,0.2)(0.7,0.6)(0.9,.2)(1.1,.6)(1.3,.2)(1.5,.6)
(1.7,.2)(1.9,.6)(2.1,.2)(2.3,.6)(2.5,.2)(2.7,.6)(2.9,.2)(3.,.4)(3.6,.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.6,0)(3.6,1)(5,1)(5,0)
\rput(4.4,0.5){$M$}
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(3.6,-1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1.2)\rput(2.,-1.3){$X(t)$}
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,-1.2)
\end{pspicture*}
\enmp\qquad
\bgmp{10cm}
On repère l'objet par sa position $X$ qui varie en fonction du temps
$t$.
On admet que la fonction $X$ est solution de l'équation
\[
(E): X''+100X=0
\]
\enmp
\bigskip
Toutes ces équations sont des \textbf{équations différentielles}:
des équations dont l'inconnue est une fonction ($u(t)$, $v(t)$, $X(t)$),
et qui utilisent ses dérivées ($u'(t)$, $v'(t)$, $X''(t)$).
\section{\'Equation différentielle $y'+ay=b$}
\subsection{\'Equation homogène $y'+ay=0$}
On a: $y'+ay=0\iff y'=-ay$.
Or on sait que pour la fonction $y(x)=ke^{-ax}$,
$k$ constante réelle,
de la forme $y=ke^u$,
on a justement $y'=ku'e^u=-ake^{-ax}=-ay$.
Ainsi, cette fonction exponentielle est une solution.
On peut démontrer par ailleurs que c'est la seule solution.
\bgprop{Les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=0$
sont les fonctions définies sur $\R$ par $y:x\mapsto ke^{-ax}$,
où $k$ est une constante réelle quelconque.}
\bgex
Résoudre les équations homogènes: \\
a) $y'+y=0$ \quad
b) $y'-3y=0$ \quad
c) $y'=2y$ \quad
d) $3y'=y$ \quad
e) $y'=\dfrac{y}{5}$
\enex
\subsection{\'Equation générale $y'+ay=b$}
Par exemple, $y'+2y=6$.
Une solution particulière et évidente est la fonction
constante $y=3$ (pour laquelle, $y'=0$, et donc
$y'+2y=0+2\tm3=6$).
Plus généralement, la fonction constante $y=\dfrac{b}{a}$
est une solution particulière de l'équation $y'+ay=b$.
En ajoutant alors la solution de l'équation homogène
on obtient l'ensemble des solutions:
\bgprop{Les solutions de l'équation différentielle
$y'+ay=b$ sont les fonctions définies sur $\R$ par
$y:x\mapsto ke^{-ax}+\dfrac{b}{a}$,
où $k$ est une constante réelle quelconque.}
\bgex
Donner les solutions des équations différentielles: \\
a) $y'+2y=0$ \quad
b) $y'+2y=6$ \quad
c) $y'-3y=9$ \quad
d) $y'+2y=5$ \quad
e) $2y'+3y=-7$ \quad
f) $y'=-\dfrac{y}{4}+2$
\enex
\subsection{\'Equation avec une condition initiale}
Résoudre l'équation $y'+3y=12$.
Déterminer la fonction solution qui vérifie de plus $y(0)=1$.
\bgprop{L'équation différentielle $y'+ay=b$ admet une unique solution $f$
définie sur $\R$ et telle que $f(x_0)=y_0$.}
\bgex
Soit $(E)$ l'équation différentielle $2y'+y=2$.
\bgen
\item Résoudre $(E)$.
\item Déterminer la solution de $(E)$ qui vérifie $y(0)=1$.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre l'équation différentielle $2y'+y=0$.
Déterminer la solution $f$ de cette équation vérifiant
$f\lp\ln4\rp=1$.
\enex
\section{\'Equation différentielle $y''+\omega^2y=0$}
On a
$y''+\omega^2y=0 \iff y''=-\omega^2y$.
Pour $\omega=1$ donc l'équation $y''=-y$, les fonctions
trigonométriques conviennent.
En effet $\cos$ vérifie $\cos'=-\sin$
et donc
$\cos''=\lp\cos'\rp'=\lp-\sin\rp'=-\cos$
et de m\^eme,
$\sin$ vérifie
$\sin'=\cos$
et donc $\sin''=\cos'=-\sin$.
\medskip
Pour l'équation plus générale, avec $\omega$ quelconque,
on modifie un peu:
soit $f(x)=\cos(\omega x)$,
sous la forme $f=\cos(u)$
avec $u(x)=\omega x$ donc $u'(x)=\omega$,
alors $f'=-u'\sin(u)$
soit $f'(x)=-\omega\sin(\omega x)$.
On recommence pour otenir la dérivée seconde $f''$.
$f'=k\sin(u)$ avec la constante $k=-\omega$
et $u(x)=\omega x$ donc $u'(x)=\omega$,
alors $\lp f'\rp'=f''=ku'\cos(u)$
soit $f''(x)=-\omega^2\cos(\omega x)=-\omega^2f$.
Ainsi, $f(x)=\cos(\omega x)$ est une solution de
l'équation différentielle.
\medskip
De m\^eme, en reprenant la m\^eme démarche,
$g(x)=\sin(\omega x)$ est aussi une solution.
\medskip\noindent
On admet alors que ceux sont les seules solutions:
\vspace{-1em}
\bgprop{Les solutions de l'équation différentielle
$y''+\omega^2y=0$ sont les fonctions définies sur $\R$
par $x\mapsto k_1\cos(\omega )+k_2\sin(\omega x)$,
où $k_1$ et $k_2$ sont deux constantes réelles quelconques.}
\textit{
\bgit
\item L'équation différentielle admet une unique solution
sur $\R$ vérifiant de plus \textbf{deux} conditions initiales
données.
\item Les solutions peuvent aussi s'écrire sous la forme
$x\mapsto A\sin\lp\omega x+\varphi\rp$, où $A$ et $\varphi$ sont des
constantes réelles, $\varphi$ étant le déphasage.
\enit
}
\bgex
Résoudre les équations différentielles: \\
a) $y''+16y=0$\quad
b) $9y''+y=0$ \quad
c) $4y''+25y=0$ \quad
d) $y''+5y=0$ \quad
e) $2y''=-5y$
\enex
\bgex
Soit $(E)$ l'équation différentielle $y''+16y=0$.
\bgen
\item Résoudre $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant
$f(0)=\dfrac{1}{10}$ et $f'(0)=-\dfrac{2\sqrt3}{5}$
\enen
\enex
\bgex
On considère l'équation différentielle $(E):4y''+\pi^2y=0$.
\bgen
\item Résoudre $(E)$.
\item On sait de plus que la courbe représentative de la fonction $g$
solution de $(E)$:
\bgit
\item passe par le point $A\lp\dfrac12;\dfrac{\sqrt2}{2}\rp$
\item a une tangente en $A$ parallèle à l'axe des abscisses.
\enit
\medskip
Déterminer $g$ et tracer l'allure de sa courbe représentative.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre l'équation différentielle $(E):4y''+9y=0$,
puis déterminer sa solution $f$ qui vérifie
les conditions $f\lp\dfrac\pi6\rp=0$
et $f'\lp\dfrac\pi6\rp=\sqrt2$.
\enex
\bgex
On considère l'équation différentielle $(E):y''+\dfrac19y=0$
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.
\bgen
\item Résoudre $(E)$.
\item Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales
$f(0)=\sqrt3$ et $f'(0)=\dfrac13$.
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $t$,
$f(t)=2\sin\lp\dfrac13t+\dfrac\pi3\rp$.
\enen
\enex
\section{Exercices}
\bgex
On considère l'équation $(E):y'-2y=0$.
On note $f$ la solution de $(E)$ vérifiant
$f(0)=1$ et $g$ la solution de $(E)$ vérifiant
$g(0)=2$.
\bgen
\item Déterminer les expressions de $f$ et $g$.
\item Donner les tableau de variations de $f$ et $g$,
puis tracer dans un repère les courbes $\mathcal{C}$
et $\mathcal{C}'$ représentatives de $f$ et $g$.
\item Sur le graphique, tracer la droite $\Delta$ d'équation $y=2$.
On note $A$ et $B$ les points d'intersection de $\Delta$ avec
$\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.
\bgen[a)]
\item Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$.
\item Tracer sur le graphique les tangentes à $\mathcal{C}$
et $\mathcal{C}'$ en $A$ et $B$.
Déterminer les coefficients directeurs de ces deux tangentes.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgmp{11.cm}
Un condensateur de capacité $C$, initialement chargé à une tension
$u_0=10$ volts, se décharge à partir de l'instant $t_0=0$
à travers un circuit de résistance $R$. \\
La tension $u$ est une fonction du temps $t$, en secondes, et vérifie
l'équation différentielle
$(E): RCu'(t)+u(t)=0$.
\enmp\hfill
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1,-2.8)(5,2.4)
\psline(0,0.1)(0,2)(5,2)(5,1.6)
\pspolygon(4.7,1.6)(5.3,1.6)(5.3,-1.6)(4.7,-1.6)
\rput(5,0){$R$}
\psline{->}(5.7,-1.7)(5.7,1.7)
\rput(6,0){$u$}
\psline(0,-0.1)(0,-2)(2,-2)(2.5,-2.5)
\psline(2.5,-2)(5,-2)(5,-1.6)
\psline(-0.4,0.1)(0.4,0.1)
\psline(-0.4,-0.1)(0.4,-0.1)
\rput(0.7,0){$C$}
\psline{->}(3,2)(3.3,2)\rput(3.2,2.5){$i$}
\end{pspicture}
\enmp\\
On prend $C=15.10^{-5}$ farads et $R=2.10^4$ ohms.
\bgen
\item \'Ecrire l'équation différentielle $(E)$ vérifée par la tension $u$
et la résoudre.
\item Déterminer la fonction $u$ solution de $(E)$ et telle que $u(t_0)=u_0$.
\item \`A partir de quel instant $t_1$ la tension devient-elle
inférieure au dixième de sa valeur initiale ?
On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée
au dixième de seconde de $t_1$.
\item Calculer la valeur moyenne de $u$ entre les instants $t_0$ et $t_1$.
\item L'energie emmagasinée dans le condensateur à l'instant $t$
est, en joules,
$W(t)=\dfrac12C\lb u(t)\rb^2$.
Calculer la valeur moyenne $W_m$ de cette fonction entre $t_0$ et $t_1$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen[A.]
\item \textbf{Résolution de l'équation différentielle}\\
On considère l'équation $(E): y'+0,01y=24$,
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$,
définie et dérivable sur $[0;+\infty[$.
\bgen[1.]
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
\item Déterminer la solution $v$ de l'équation $(E)$ qui vérifie
la condition initiale $v(0)=0$.
\enen
\item \textbf{\'Etude d'une fonction}\\
Soit $v$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$
par $v(t)=2400\lp1-e^{-0,01t}\rp$.
\bgen[1.]
\item Déterminer $\dsp\lim_{t\to+\infty}v(t)$.
\item Déterminer la fonction dérivée $v'$ de $v$.
En déduire le sens de variation de $v$
\item Résoudre l'équation $v(t)=1200$.
Donner la valeur exacte puis approchée arrondie à $10^{-1}$.
\enen
\enen
\enex
\bgex \vspace{-2em}
\noindent
\bgmp{15cm}
La vitesse d'un objet soumis à son poids et aux frottements de l'air
vérifie l'équation
\[(E):\ v'(t)+140v(t)=10\]
où la fonction vitesse $v$, exprimée en $m.s^{-1}$,
est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$.
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $v$ de $(E)$ qui s'annulle pour $t=0$.
\item \'Etudier la limite de $v$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
Interpréter ce résultat.
\item \`A quel instant $t_1$ la bille atteint-elle 95\% de sa vitesse
limite ? \\
\`A quel instant $t_2$ en atteint-elle 99\% ?
\enen
\enmp\hfill
\bgmp{4.1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-4)(3.,3.2)
\psarc(0,1){2}{20}{160}
\psarc(-1.2,1.1){0.9}{48}{140}
\psarc(0,1.1){0.9}{48}{132}
\psarc(1.2,1.1){0.9}{40}{132}
\psline(0,-1)(-1.89,1.68)
\psline(0,-1)(1.89,1.68)
\psline(0,-1)(0.6,1.78)
\psline(0,-1)(-0.6,1.78)
\pspolygon(-0.2,-1)(0.2,-1)(0.2,-1.6)(-0.2,-1.6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1.6)(0,-3.5)\rput(0.4,-2.3){$\V{P}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1)(0,1)\rput(0.2,1){$\V{F}$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $y''+16y=0$.
\item Déterminer la solution $f$ de cette équation vérifiant
$f(0)=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $f'(0)=2$.
\item On rappelle que, pour tout réel $a$ et $b$,
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$. \\
Vérifier que, pour tout réel $x$,
$f(x)=\sin\lp4x+\dfrac\pi3\rp$.
\item Calculer l'intégrale $\dsp I=\int_0^{\frac\pi2}f(x)\,dx$.
\enen
\enex
\bgex
\noindent
\bgmp{12.5cm}
On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet qui peut coulisser
sans frottement sur un plan.
On repère l'objet par sa position $X$ qui varie en fonction du temps
$t$. \\
On admet que la fonction $X$ est solution de l'équation
$(E): X''+100X=0$.
\enmp\hfill
\bgmp{7cm}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.5)(6.5,1.4)
\newcommand{\f}[1]{#1 2 add}
\psline(-0.5,0)(7,0)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-0.5)(! \f{\i}\space 0)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-.3,0)(-.3,0.8)(0,0.8)(0,0)
\psline(0,0.4)(0.4,0.4)(0.5,0.2)(0.7,0.6)(0.9,.2)(1.1,.6)(1.3,.2)(1.5,.6)
(1.7,.2)(1.9,.6)(2.1,.2)(2.3,.6)(2.5,.2)(2.7,.6)(2.9,.2)(3.,.4)(3.6,.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.6,0)(3.6,1)(5,1)(5,0)
\rput(4.4,0.5){$M$}
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(3.6,-1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1.2)\rput(2.,-1.3){$X(t)$}
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,-1.2)
\end{pspicture*}
\enmp
\bgen
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $X$ de $(E)$ telle que
$X(0)=10^{-1}$ et $X'(0)=1$.
\item Vérifier que, pour tout réel $t$,
$X(t)=10^{-1}\sqrt2\sin\lp10t+\dfrac\pi4\rp$.
\item Vérifier que l'énergie mécanique $W$ du système,
définie pour tout nombre réel $t\geqslant\in[0;+\infty[$ par
$W(t)=10^{-1}\lb X'(t)\rb^2+10\lb X(t)\rb^2$,
est constante.
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $X$ sur
l'intervalle $\Bigl[0;\dfrac{\pi}{10}\Bigr[$.
\enen
\enex
\bgex
Cet exercice est un QCM.
Pour chaque proposition, choisir l'unique bonne réponse.
\bgen[A.]
\item \bgmp[t]{9cm}On considère la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x)=xe^{-x}$. \\
Sa courbe représentative est donnée ci-contre:
\enmp\hfill
\bgmp{7cm}\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-1,0)(6,1.2)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-1.5)(0,1.4)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-.7}{5}{x 2.718 x -1 mul exp mul}
\multido{\i=-1+1}{7}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=-1+1}{3}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput(-.2,\i){\i}}
\end{pspicture}
\enmp
\bgen[1.]
\item Pour tout réel $x$, $f'(x)=$ est égal à:\\
\begin{tabular}{*3{p{3cm}}}
a) $-e^{-x}$ &
b) $e^{-x}$ &
c) $(1-x)e^{-x}$
\end{tabular}
\item La tangente à la courbe représentative de $f$
au point d'abscisse 0 a pour équation:\\
\begin{tabular}{*3{p{3cm}}}
a) $y=x$ &
b) $y=2x$ &
c) $y=-x$
\end{tabular}
\item Une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par:\\
\begin{tabular}{*3{p{4.2cm}}}
a) $F(x)=\dfrac12x^2e^{-x}$ &
b) $F(x)=-(1+x)e^{-x}$ &
c) $F(x)=-xe^{-x}$
\end{tabular}
\item La valeur de $\dsp\int_0^2f(x)\,dx$ est:\\
\begin{tabular}{*3{p{3cm}}}
a) négative &
b) inférieure à 1 &
c) supérieure à 3
\end{tabular}
\enen
\item
\bgen[1.]
\item Dans ce qui suit, $C$ est une constante quelconque. \\
L'équation différentielle $(E):2y'+y=1$ a pour ensemble de solutions:\\
\begin{tabular}{*3{p{4cm}}}
a) $x\mapsto Ce^{-2x}-1$ &
b) $x\mapsto Ce^{-\frac12x}+1$ &
c) $x\mapsto Ce^{-\frac12x}-1$
\end{tabular}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x)=\sqrt3\cos\dfrac13x+\sin\dfrac13x$. \\
$f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$:\\
\begin{tabular}{*3{p{4cm}}}
a) $9y"+y=0$ &
b) $y"+\dfrac13y=0$ &
c) $y"+9y=0$
\end{tabular}
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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