Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques TSTI2D: exponentielle},
pdftitle={Fonctions exponentielles - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, exponentielle, TSTI2D, terminale, STI, STI2D}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip
}
\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$\\
\medskip
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions exponentielles - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$
\vspace*{-0.5em}
\bgex Simplifier les expressions: \\
\begin{tabular}{llllllll}
a) $e^{\ln(2)}$
& b) $e^{-\ln(3)}$
& c) $e^{2\ln(5)}$
& d) $e^{\frac12\ln(16)}$
& e) $\ln\lp e^{3}\rp$
& f) $\ln\lp e^{-4}\rp$
& g) $\ln\lp \sqrt{e}\rp$
& h) $\ln\lp\dfrac{1}{\sqrt{e^3}}\rp$
\\[.8em]
i) $e^3e^5$
& j) $e^{-5}e^{3}e^2$
& k) $\lp e^{-3}\rp^2$
& l) $\dfrac{1}{e^7}$
& m) $\dfrac{1}{e^{-x+2}}$
& n) $e^{-x+3}e^{2x+2}$
& p) $\dfrac{e^{3x+2}}{e^{2x+3}}$
& q) $\lp e^{-2x+3}\rp^2$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes: \\
a) $e^x=3$ \quad
b) $e^x+1=0$ \quad
c) $e^{x+3}=1$ \quad
d) $\ln(x)=6$ \quad
e) $\ln(x)=-2$ \quad
f) $\ln(x+2)=5$
\enex
\vspace*{-0.6em}
\bgex Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes: \\[.2em]
\hspace*{-.5em}\begin{tabular}{lllll}
a)$f(x)=3e^x+x$ &
b)$f(x)=xe^x$ &
c)$f(x)=\dfrac{1}{e^x+3}$ &
d)$f(x)=\dfrac{2e^x-1}{e^x+2}$ &
e)$f(x)=\lp 3x^2+x\rp e^x$\\[.5em]
f)$f(x)=\lp e^x+x^2\rp^2$ &
g)$f(x)=e^x\cos(2x)$ &
h)$f(x)=\dfrac{3}{2e^x-1}$ &
i)$f(x)=e^{3x+2}$ &
j)$f(x)=5e^{-x+3}$ \\
k)$f(x)=xe^{3x}$ &
l)$f(x)=\dfrac{1}{e^{2x-1}}$ &
m)$f(x)=e^{x^2+1}$ &
n)$f(x)=\cos(2x)e^{3x}$ &
p)$f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{2e^{-x}-1}$
\end{tabular}
\enex
\vspace*{-0.7em}
\bgex Déterminer les primitives des fonctions suivantes: \\[.5em]
\begin{tabular}{llll}
a)$f(x)=2e^x$ &
b)$f(x)=x+1+e^x$ &
c)$f(x)=e^{2x}$ &
d)$f(x)=e^{-x}$ \\[.8em]
e)$f(x)=-5e^{3x+2}$ &
f)$f(x)=3e^{0,02x}$ &
g)$f(x)=-2e^{-2x}+e^{-x}$ &
h)$f(x)=xe^{2x^2}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que
la fonction $F:x\mapsto(ax+b)e^x$
soit une primitive de la fonction
$f:x\mapsto(2x+1)e^x$.
\enex
\bgex
Résoudre:
a) $e^2{2x+1}=3$ \quad
b) $e^{-3x+2}=0$ \quad
c) $e^{2x+1}=e^{-x-1}$ \quad
d) $\dfrac{e^{3x-2}}{e^{2x+5}}=1$ \\
e) $e^{x^2+5x-5}=e$ \quad
f) $e^{6x-1}=5$ \quad
g) $e^{3x}-2>1$ \quad
h) $\dfrac{e^{5x+2}}{e^{-3x+6}}>0$ \quad
i) $\dfrac{e^{5x+2}}{e^{-3x+6}}>6$
\enex
\bgex
\'Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x)=e^{3x}-6x+5$.
\enex
\bgex
Déterminer les limites suivantes, et interpréter graphiquement le résultat,
en terme d'asymptote, lorsque cela est possible: \\[.8em]
\begin{tabular}{llll}
a)$\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{2x}+e^x+3x$ &
b)$\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{2x}+e^x+5x^3$ &
c)$\dsp\lim_{x\to+\infty}10-e^{-0,1x}$ &
d)$\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x^2}+e^x$ \\[.8em]
e)$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{e^x+3}$ &
f)$\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x-x$ &
g)$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{15}{1-e^{1-x}}$ &
h)$\dsp\lim_{x\to-\infty}\dfrac{xe^{x}+3}{e^{-3x}}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$
par l'expression $f(x)=\lp-x^2-2x+2\rp e^{-x}+3$.
\bgen
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$
et montrer que $f'(x)=\lp x^2-4\rp e^{-x}$.
En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$
par $F(x)=\lp x^2+4x+2\rp e^{-x}+3x$.
Vérifier que $F$ est une primitive sur $\R$ de $f$.
\enen
\enex
\vspace*{-0.5em}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=e^x-\dfrac{x}{2}-1$ et
$\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
\vspace*{-0.5em}
\item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul,
$f(x)=x\lp \dfrac{e^x}{x}-\dfrac12-\dfrac1x\rp$.
En déduire $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\item Résoudre dan $\R$ l'inéquation $e^x-\dfrac12\geqslant0$.
En déduire le signe de $f'(x)$.
\item Calculer la valeur exacte de $f\lp\ln\dfrac12\rp$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Soit $a>0$, et $f$ la fonction exponentielle de base $a$,
donc définie par $f(x)=a^x$.
\bgen
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$, puis le sens de variation de $f$,
selon la valeur de $a$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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