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Type: Cours
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Description
Exercices de mathématiques en terminale STI2D: géométrie, produit scalaire et nombres complexes
Niveau
Terminale STI2D
Mots clé
Exercices de mathématiques, maths, géoémtrie, produit scalaire, nomrbes complexes, forme exponentielle, eponentielle complexe, STI, STI2D, terminale, TSTI2D
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: géométrie, produit scalaire, nombres complexes},
    pdftitle={Géométrie, produit scalaire, nombres complexes},
    pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D, 
      géométrie, produit scalaire, nombres complexes, trigonométrie, 
      formule de trigonométrie}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}\medskip
}

\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}\medskip
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  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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  \stepcounter{ndef}\medskip
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%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Géométrie et nombres complexes - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{0.1cm}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$


\bgex On se place dans un RON. 
Dans chacun des cas, 
déterminer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\left\|\vec{u}\right\|$ et 
$\left\|\vec{v}\right\|$. \\
En déduire alors $\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ puis une valeur de l'angle 
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp$. \\
a) $\vec{u}(2;-1)$ et $\vec{v}(1;3)$ 
\qquad
b) $\vec{u}(2;-1)$ et $\vec{v}(-1;3)$ 
\qquad
c) $\vec{u}(2;-6)$ et $\vec{v}(9;3)$ 
\qquad
d) $\vec{u}(2;0)$ et $\vec{v}(0;-7)$ 
\enex



\bgex
Dans un RON, on considère les points 
$A(-3;1)$, $B(4;-1)$ et $C(1;15)$.  \\
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enex

\bgex
Dans un RON, on considère les points 
$A(2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(0;-2)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonnées des vecteurs 
  $\V{AB}$, $\V{BC}$ et $\V{AC}$. 
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle $ABC$. 
\item Calculer les produits scalaires 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}$, 
  $\V{BC}\cdot\V{BA}$ 
  et $\V{CA}\cdot\V{CB}$. 
\item En déduire au degré près les angles du triangle $ABC$. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{14cm}
\bgex
On considère le rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=1$. 

Déterminer le point $E$ de la droite $(BC)$ tel que les droites 
$(AE)$ et $(DB)$ soient perpendiculaires. 
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,0.2)(4,1.4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,1)(0,1)
  \psline(0,1)(3,0)
  \psline(0,0)(3,2.5)
  \rput(-.15,-.15){$A$}
  \rput(3.15,-.15){$B$}
  \rput(3.15,1.15){$C$}
  \rput(-.15,1.15){$D$}
  \rput(3.15,2.55){$E$}
  \psline[linestyle=dashed](3,1)(3,3)
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
\bgen
\item $ABCD$ est un carré de côté $1$. 

  \bgmp{13.8cm}
  Calculer la longueur $AC$, puis en déduire les valeurs exactes de 
  $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \psset{unit=.8cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(2.2,1.)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
    \psline(0,2)(2,0)
    \rput(-0.2,2.2){$A$}
    \rput(2.2,2.2){$B$}
    \rput(2.2,-.2){$C$}
    \rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \end{pspicture}
  \enmp

\item $RST$ est un triangle équilatéral de côté $1$. \\
  \bgmp{15cm}
  Calculer la longueur $TI$, en déduire les valeurs exates de 
  $\cos\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\sin\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\cos\dfrac{\pi}{3}$ et 
  $\sin\dfrac{\pi}{3}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \psset{unit=.9cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,0)(2.2,1.)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.7)
    \psline(1,1.7)(1,0)
    \psline(0.4,-0.1)(0.5,0.1)\psline(0.5,-0.1)(0.6,0.1)
    \psline(1.4,-0.1)(1.5,0.1)\psline(1.5,-0.1)(1.6,0.1)
    \rput(1,1.9){$T$}
    \rput(-0.2,-0.2){$R$}
    \rput(2.2,-0.2){$S$}
    \rput(1,-0.2){$I$}
  \end{pspicture}
  \enmp
\enen
\enex

\vspace{-1em}

\bgex
Donner les valeurs exactes de: 

\vspd\noindent
a)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$
\qquad
b)\ $\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
\qquad
c)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$
\qquad
d)\ $\cos\lp-\dfrac{3\pi}{4}\rp$
\qquad
e)\ $\sin\lp\dfrac{4\pi}{3}\rp$
\qquad
\enex


\bgex
Simplifier les expressions: \vspd

a)\ $A=\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp+\sin(-x)+\cos(-x)$ 
\qquad
b)\ $B=\sin(\pi-x)+\cos(\pi+x)+\sin(x+\pi)$

c)\ $C=\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp+\cos(\pi-x)+\sin(\pi-x)$
\qquad
d)\ $D=\cos(x+\pi)+\sin(\pi-x)+\cos(x+2\pi)$
\enex

\bgex
Résoudre les équations sur $\R$, puis sur $[\,0;2\pi[$: 
\ 
a) $\cos x=\cos\lp\dfrac{\pi}{6}\rp$
\quad
b) $\sin x=\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
\quad
c) $\cos t=\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$
\qquad
d) $\sin t=\sin\lp\dfrac{\pi}{8}\rp$
\quad 
e) $\cos x=0$ 
\quad
f) $\cos x=\dfrac12$
\quad
g) $\sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\\
h) $\cos x=\cos\lp x+\dfrac{\pi}{4}\rp$
\ 
i) $\cos x=\sin\lp\dfrac{\pi}{3}\rp$
\quad
j) $\cos x=\sin\lp\dfrac{\pi}{12}\rp$
\quad
k) $\sin x=\cos x$
\quad
l) $\cos(2x)=\sin\lp \dfrac{x}{2}\rp$
\enex


\bgex

\noindent
\bgen
\item Soit les points $M$ et $N$ du cercle trigonométrique 
donnés sur le graphique ci-contre. 

\bgmp{14.2cm}
Donner les coordonnées des points $M$ et $N$, 
  puis des vecteur $\V{OM}$ et $\V{ON}$. 

  En déduire une expression de $\V{OM}\cdot\V{ON}$. 

  En utilisant une autre expression du produit scalaire 
  $\V{OM}\cdot\V{ON}$, donner une formule exprimant $\cos(a-b)$ 
  à l'aide des cosinus et sinus de $a$ et $b$. 
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=2.5cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.1,-.4)(1.3,.6)
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \psline(-.2,0)(1.2,0)
  \psline(0,-.2)(0,1.2)
  %\pscircle(0,0){1}
  \psarc(0,0){1}{-30}{110}
  %
  \rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.05,0.58){$M$}
  \psline(0,0)(0.866,0.5)
  \psarc{->}(0,0){0.5}{0}{30}\rput(0.58,0.13){$b$}
  %
  \rput(0.706,0.706){$\bullet$}\rput(.84,0.8){$N$}
  \psline(0,0)(0.707,0.707)
  \psarc{->}(0,0){0.75}{0}{45}\rput(0.78,0.3){$a$}
\end{pspicture}
\]
\enmp

\item Appliquer la formule précédente avec les nombres $a$ et $-b$. 
  %afin d'obtenir une formule exprimant $\cos(a+b)$. 
\item Appliquer la formule précédente avec les nombres $\dfrac\pi2-a$ et $-b$. 
  %afin d'obtenir une formule exprimant $\sin(a+b)$. 
\item Appliquer la formule précédente avec les nombres $a$ et $-b$.
  %afin d'obtenir une formule exprimant $\cos(a-b)$. 
\enen
\enex


\bgex
\`A l'aide des formules d'addition, montrer que: 
a) $2\cos\lp\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\rp
  =\sqrt3\cos\lp\dfrac23x\rp+\sin\lp\dfrac23x\rp$
\quad
b) $\sin\lp x+\dfrac{5\pi}{6}\rp
  =-\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x$
c) $4\sin\lp2x-\dfrac\pi4\rp
  =2\sqrt2\sin(2x)-2\sqrt2\cos(2x)$
\enex

\bgex
En utilisant les formules d'addition, donner les valeurs exactes 
des cosinus et sinus de: 

a) $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ \qquad
b) $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}$ \qquad
c) $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}$. 
\enex


\bgex
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes: \\[.3em]
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-i)^2$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $i^3$ \quad
$\bullet$\ $i^4$ \quad
$\bullet$\ $i^5$ \quad
$\bullet$\ $i^{2000}$ \quad
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$

\enex


\bgex
\'Ecrire sous forme trigonométrique les
nombres complexes suivants: \\
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$z_1=3$
&
$z_2=-4$
&
$z_3=2i$
&
$z_4=-1+i$
&
$z_5=-\sqrt{3}+i$
\\
$z_6=-17$
&
$z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&
$z_8=5i$
&
$z_9=4-4i$
&$z_{10}=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. 
\end{tabular}
\enex


\bgex
\'Ecrire les nombres de l'exercice précédent sous forme exponentielle. 
\enex

\bgex
\'Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes: \\[.4em]
$z_1=e^{i\frac{\pi}{4}}$ \qquad 
$z_2=e^{2i\frac\pi3}$ \qquad
$z_3=2e^{-i\frac\pi6}$ \qquad 
$z_4=-3e^{-i\frac\pi2}$ \qquad
$z_5=e^{i\frac\pi6}+e^{-i\frac\pi6}$ \qquad
$z_6=2e^{i\frac\pi3}+\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$
\enex

\bgex
On considère les nombres complexes 
$z_1=1+i\sqrt3$ et $z_2=1-i$. 
\bgen
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$ eet $z_2$. 
\item En déduire le module et un argument des nombres 
  $\dfrac{1}{z_1}$, $z_1\tm z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$, $\lp z_1\rp^2$, 
  $\lp z_2\rp^3$.
\enen
\enex

\vspace{-1em}
\bgex\!\!\!\!
\'Ecrire sous forme algébrique: 
a) $\dfrac{1}{2+3i}$ \quad 
b) $\dfrac{3}{4-i}$ \quad 
c) $\dfrac{3+i}{2-i}$ \quad 
d) $\dfrac{1+i}{1-i}$ \quad
e) $\dfrac{1}{i}$ \ 
f) $\dfrac{3-i}{i}$
\enex


\bgex {\bf Vrai ou faux ?} \quad 
Soit $z_1=1-i$, $z_2=1+i\sqrt3$ et $z_3=1+i$. \\[.5em]
a) $z_1z_2=2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{12}}$ \qquad 
b) $z_1\overline{z_2}=2\sqrt2e^{-i\frac{7\pi}{12}}$ \qquad
c) $\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt2e^{-i\frac{\pi}{2}}$
\enex


\bgex {\bf QCM} 
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. 
On désigne par $i$ le nombre complexe de module 1 et 
d'argument $\dfrac\pi2$.

\bgen
\item La forme algébrique du nombre complexe 
  $\dfrac{1}{2+i}$ est: 
  a) $\dfrac23-\dfrac13i$ \quad 
  b) $\dfrac25-\dfrac15i$ \quad 
  c) $\dfrac25+\dfrac15i$ \quad 
  d) $\dfrac23+\dfrac13i$ 
\item Le nombre complexe $z=-2+2i$ peut s'écrire:
  a) $2\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$ \quad 
  b) $2\sqrt2e^{3i\frac\pi4}$ \quad 
  c) $2\sqrt2e^{5i\frac\pi4}$ \quad 
  d) $4e^{3i\frac\pi4}$ 
\item Le nombre complexe conjugué de $z=4e^{i\frac\pi6}$ est:
  a) $-4e^{i\frac\pi6}$ \qquad
  b) $4e^{7i\frac\pi6}$ \qquad
  c) $4e^{-i\frac\pi6}$ \qquad
  d) $\dfrac14e^{-i\frac\pi6}$
\item Soit $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. 
  On sait que $|z_A|=\sqrt3$ et $|z_B|=3$. 
  On sait aussi qu'un argument de $z_A$ est égal à $\dfrac\pi3$ 
  et qu'un argument de $z_B$ est égal à $\dfrac\pi4$. 

  L'écriture exponentielle du produit $z_A\tm z_B$ est:
  a) $3e^{i\frac{7\pi}{12}}$ \quad 
  b) $3\sqrt3e^{i\frac{7\pi}{12}}$ \quad 
  c) $3\sqrt3e^{i\frac{2\pi}{7}}$ \quad 
  d) $\dfrac{\sqrt3}{3}e^{i\frac{\pi}{12}}$ 
\item Si $z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$, 
  alors l'écriture exponentielle de $\dfrac{z_1}{z_2}$ est:\\[.5em]
  a) $\sqrt2e^{i\frac{5\pi}{12}}$ \qquad 
  b) $\sqrt2e^{i\frac{11\pi}{12}}$ \qquad 
  c) $\dfrac{\sqrt2}{2}e^{-i\frac{5\pi}{12}}$ \qquad 
  d) $\sqrt2e^{i\frac{\pi}{12}}$
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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