Source Latex: Cours de mathématiques en Terminale STI2D


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Description
Cours de mathématiques en terminale STI2D: géométrie, produit scalaire, nombres complexes
Niveau
Terminale STI2D
Table des matières
  • Rappels: géométrie analtique et produit scalaire
  • Cercle trigonométrique, cosinus et sinus
    • Cercle trigonométrique, angles remarquables
    • Angles associés
    • Equations trigonométriques
    • Formules d'addition et de duplication
  • Nombres complexes
    • Formes algébrique et trigonométrique
    • Forme exponenetielle
    • Conjugué d'un nombre complexe
Mots clé
géométrie, produit scalaire, nombres complexes, écriture exponentielle, forme exponentielle, exponentielle complexe, Cours de mathématiques, maths, STI, STI2D, terminale, TSTI2D
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: géométrie, produit scalaire, nombres complexes},
    pdftitle={Géométrie, produit scalaire, nombres complexes},
    pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D, 
      géométrie, produit scalaire, nombres complexes, trigonométrie, 
      formule de trigonométrie}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}\medskip
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}\medskip
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ndef}\medskip
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Géométrie et nombres complexes}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{0.1cm}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$

\section{Rappels: géométrie analytique et produit scalaire}

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$,
est le nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$ défini par 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.2)(7,1.3)
  \psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,1)
  \rput(0.9,0.8){$\vec{v}$}
  \psline[arrowsize=7pt,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1.5,-1)
  \rput(0.7,-0.8){$\vec{u}$}
  \psarc{->}(0,0){1.2}{-29}{25}\rput(1.5,0){$\tht$}
  \rput[l](3,0){$\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{u}\right\|.\cos\tht$}
\end{pspicture}


\vspq
Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan, alors: \quad
\[\V{AB}\cdot\V{AC}
=\left\|\V{AB}\right\|\tm\left\|\V{AC}\right\|
\cos\lp\V{AB},\V{AC}\rp
=AB\tm AC\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp\]
Si de plus, dans un repère orthonormal (RON) on a les coordonnées 
$\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$, alors 
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$. 

\bgex On se place dans un RON. 
Dans chacun des cas, 
déterminer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\left\|\vec{u}\right\|$ et 
$\left\|\vec{v}\right\|$. \\
En déduire alors $\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ puis une valeur de l'angle 
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp$. \\
a) $\vec{u}(2;-1)$ et $\vec{v}(1;3)$ 
\qquad
b) $\vec{u}(2;-1)$ et $\vec{v}(-1;3)$ 
\qquad
c) $\vec{u}(2;-6)$ et $\vec{v}(9;3)$ 
\qquad
d) $\vec{u}(2;0)$ et $\vec{v}(0;-7)$ 
\enex


\bgprop{\vspace{-1em}
  \bgen[$\bullet$] 
  \item Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux 
    si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
  \item Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires 
    si et seulement si $\V{AB}\cdot\V{CD}=0$.
  \enen
}


\bgex
Dans un RON, on considère les points 
$A(-3;1)$, $B(4;-1)$ et $C(1;15)$.  \\
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enex

\bgex
Dans un RON, on considère les points 
$A(2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(0;-2)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonnées des vecteurs 
  $\V{AB}$, $\V{BC}$ et $\V{AC}$. 
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle $ABC$. 
\item Calculer les produits scalaires 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}$, 
  $\V{BC}\cdot\V{BA}$ 
  et $\V{CA}\cdot\V{CB}$. 
\item En déduire au degré près les angles du triangle $ABC$. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{14cm}
\bgex
On considère le rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=1$. 

Déterminer le point $E$ de la droite $(BC)$ tel que les droites 
$(AE)$ et $(DB)$ soient perpendiculaires. 
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,0)(4,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,1)(0,1)
  \psline(0,1)(3,0)
  \psline(0,0)(3,2.5)
  \rput(-.15,-.15){$A$}
  \rput(3.15,-.15){$B$}
  \rput(3.15,1.15){$C$}
  \rput(-.15,1.15){$D$}
  \rput(3.15,2.55){$E$}
  \psline[linestyle=dashed](3,1)(3,3)
\end{pspicture}
\enmp

\section{Cercle trigonométrique, cosinus et sinus}
\subsection{Cercle trigonométrique, angles remarquables}

\bgex
\bgen
\item $ABCD$ est un carré de côté $1$. 

  \bgmp{12cm}
  Calculer la longueur $AC$, puis en déduire les valeurs exactes de 
  $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.2)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
    \psline(0,2)(2,0)
    \rput(-0.2,2.2){$A$}
    \rput(2.2,2.2){$B$}
    \rput(2.2,-.2){$C$}
    \rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \end{pspicture}
  \enmp

\item $RST$ est un triangle équilatéral de côté $1$. 

  \bgmp{12cm}
  Calculer la longueur $TI$, en déduire les valeurs exates de 
  $\cos\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\sin\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\cos\dfrac{\pi}{3}$ et 
  $\sin\dfrac{\pi}{3}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.4)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.7)
    \psline(1,1.7)(1,0)
    \psline(0.4,-0.1)(0.5,0.1)\psline(0.5,-0.1)(0.6,0.1)
    \psline(1.4,-0.1)(1.5,0.1)\psline(1.5,-0.1)(1.6,0.1)
    \rput(1,1.9){$T$}
    \rput(-0.2,-0.2){$R$}
    \rput(2.2,-0.2){$S$}
    \rput(1,-0.2){$I$}
  \end{pspicture}
  \enmp
\enen
\enex


\bgdef{
Soit $M$ un point du cercle trigonométrique, 
et $x$ une mesure de l'angle orienté 
$\lp \vec{i},\V{OM}\rp$. 

\bgit
\item Le {\bf cosinus} de $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse de $M$. 
\item Le {\bf sinus} de $x$, noté $\sin x$, est l'ordonnée de $M$. 
\enit
}

\[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.1)(1.3,1.2)
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \psline(-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.3,-0.1){$\vec{i}$}
  \psline(0,-1.2)(0,1.2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.1,0.8){$\vec{j}$}
  \pscircle(0,0){1}
  %
  \rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.05,0.55){$M$}
  \psline(0,0)(0.866,0.5)
  \psarc{->}(0,0){0.6}{0}{30}\rput(0.7,0.15){$x$}
  %
  \psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
  \rput(0.85,-0.1){$\cos x$}
  \rput(-0.15,0.52){$\sin x$}
\end{pspicture}
\]

\bgmp{11cm}
{\bf Angles remarquables} \\[0.3cm]
\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{tabular}{|c|*5{p{1.2cm}|}}\hline
$x$ & 
\bgmp{1.2cm} $0^\circ$ \\[0.3cm] $0$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $30^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{6}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $45^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{4}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $60^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{3}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $90^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{2}$ rad \enmp
\\\hline
$\sin x$ & $0$ & $\dfrac{\bf 1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{\bf 2}}{2}$ 
& $\dfrac{\sqrt{\bf 3}}{2}$ & $1$ 
\\\hline
$\cos x$ & $1$ & $\dfrac{\sqrt{\bf 3}}{2}$ 
& $\dfrac{\sqrt{\bf 2}}{2}$ & $\dfrac{\bf 1}{2}$ & $0$
\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
  \psline(-0.1,0)(1.2,0)\rput(-0.1,1.15){$\lp\sin\rp$}
  \psline(0,-0.1)(0,1.2)\rput(1.3,-0.08){$\lp\cos\rp$}
  \rput(1.02,-0.08){$1$}\rput(-0.05,1.02){$1$}
  \rput(-0.08,-0.08){$O$}
  \psarc(0,0){1}{0}{90}
  % pi/6
  \rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1,0.5){$\dfrac{\pi}{6}$}
  \psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
  \rput(0.88,-0.1){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
  \rput(-0.06,0.5){$\frac{1}{2}$}
  % pi/4
  \rput(0.707,0.707){$\bullet$}\rput(0.85,0.8){$\dfrac{\pi}{4}$}
  \psline[linestyle=dashed](0.707,0)(0.707,0.707)(0,0.707)
  \rput(0.7,-0.1){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
  \rput(-0.1,0.7){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
  % pi/6
  \rput(0.5,0.866){$\bullet$}\rput(0.6,1){$\dfrac{\pi}{3}$}
  \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
  \rput(0.5,-0.1){$\frac{1}{2}$}
  \rput(-0.09,0.88){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgprop{Pour tout réel $x$: 
\bgit
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$ 
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ 
\item[$\bullet$] $\cos^2 x +\sin^2 x=1$ 
  {\sl (en notant $\cos^2 x = \lp\cos x\rp^2$ 
    et $\sin^2 x=\lp\sin x\rp^2$)}
\enit
}

\bgex
Donner les valeurs exactes de: 

\vspd\noindent
a)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$
\qquad
b)\ $\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
\qquad
c)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$
\qquad
d)\ $\cos\lp-\dfrac{3\pi}{4}\rp$
\qquad
e)\ $\sin\lp\dfrac{4\pi}{3}\rp$
\qquad
\enex

\subsection{Angles associés}

%\vspace{1cm}
%\hspace{-1cm}
\bgmp{8.4cm}
\psset{unit=3cm}%{xunit=5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.5)(1.3,1.5)

\pscircle(0,0){1}
\psline[linewidth=0.8pt](-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=0.8pt](0,-1.2)(0,1.2)
\psarc[linewidth=0.6pt]{->}(0,0){0.4}{0}{19}
\put(0.45,0.05){\large{$x$}}

\psline[linewidth=0.8pt](-1.2,-0.4)(1.2,.4)
\psline[linewidth=0.8pt](-1.2,0.4)(1.2,-.4)
\psline[linewidth=0.8pt](-0.4,1.2)(.4,-1.2)
\psline[linewidth=0.8pt](0.4,1.2)(-.4,-1.2)

\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.94,-0.3)(0.94,0.3)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.94,-0.3)(-0.94,0.3)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.94,0.32)(0.94,0.32)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.94,-0.32)(0.94,-0.32)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.32,0.94)(0.32,0.94)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.32,-0.94)(0.32,-0.94)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.32,0.94)(-0.32,-0.94)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.32,0.94)(0.32,-0.94)

\put(1.25,-.03){\large{$0$}}
\put(1.25,0.4){\large{$x$}}
\put(1.2,-0.45){\large{$-x$}}
\put(-1.5,0.4){\large{$\pi-x$}}
\put(-1.5,-0.45){\large{$\pi+x$}}
\put(-1.4,0.){\large{$\pi$}}
\put(-0.7,1.25){\large{$\dsp\frac{\pi}{2}+x$}}
\put(0.25,1.25){\large{$\dsp\frac{\pi}{2}-x$}}
\put(-.05,1.35){\large{$\dsp\frac{\pi}{2}$}}
\put(-0.75,-1.3){\large{$\dsp\frac{3\pi}{2}-x$}}
\put(-0.1,-1.4){\large{$\dsp\frac{3\pi}{2}$}}
\put(0.28,-1.3){\large{$\dsp\frac{3\pi}{2}+x$}}

\put(0.7,-0.1){$\cos x$}
\put(-0.1,0.35){$\sin x$}
\end{pspicture}	
\enmp
\bgmp{8.2cm}
Pour tout nombre réel $x$,  
\[\la\bgar{ll}
\cos(-x) = \cos x \vspd\\
\sin(-x) = -\sin x
\enar\right.
\]
\[
\la\bgar{ll}
\dsp \cos\lp\frac{\pi}{2}-x\rp = \sin x \vspd\\
\dsp \sin\lp\frac{\pi}{2}-x\rp = \cos x
\enar\right.
\hspace{0.6cm}
\la\bgar{ll}
\dsp \cos\lp\frac{\pi}{2}+x\rp = -\sin x \vspd\\
\dsp \sin\lp\frac{\pi}{2}+x\rp = \cos x
\enar\right.
\]
\[ \la\bgar{ll}
\cos\lp\pi-x\rp = -\cos x \vspd\\
\sin\lp\pi-x\rp = \sin x
\enar\right.
\hspace{0.6cm}
\la\bgar{ll}
\cos\lp\pi+x\rp = -\cos x \vspd\\
\sin\lp\pi+x\rp = -\sin x
\enar\right.
\]
\enmp

\bgex
Simplifier les expressions: \vspd

a)\ $A=\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp+\sin(-x)+\cos(-x)$ 
\qquad
b)\ $B=\sin(\pi-x)+\cos(\pi+x)+\sin(x+\pi)$

c)\ $C=\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp+\cos(\pi-x)+\sin(\pi-x)$
\qquad
d)\ $D=\cos(x+\pi)+\sin(\pi-x)+\cos(x+2\pi)$
\enex


\subsection{Equations trigonométriques}

\bgprop{
  Les solutions dans $\R$ de l'équation 
  $\cos x =\cos a$ sont: 
  $\la\bgar{ll} x=a+2k\pi \\[0.3cm] x=-a+2k\pi\enar\right.$, \\
  où $k$ est un entier relatif quelconque. 
}

\bgprop{
  Les solutions dans $\R$ de l'équation 
  $\sin x =\sin a$ sont: 
  $\la\bgar{ll} x=a+2k\pi \\[0.3cm] x=\pi-a+2k\pi\enar\right.$,\\ 
  où $k$ est un entier relatif quelconque. 
}


\bgex
Résoudre les équations sur $\R$, puis sur $[\,0;2\pi[$: \vspd

a)\ $\cos x=\cos\lp\dfrac{\pi}{6}\rp$
\qquad
b)\ $\sin x=\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
\qquad
c)\ $\cos t=\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$
\qquad
d)\ $\sin t=\sin\lp\dfrac{\pi}{8}\rp$

e)\ $\cos x=0$ 
\qquad
f)\ $\cos x=\dfrac12$
\qquad
g)\ $\sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\qquad
h)\ $\cos x=\cos\lp x+\dfrac{\pi}{4}\rp$

\vspd
i)\ $\cos x=\sin\lp\dfrac{\pi}{3}\rp$
\qquad
j)\ $\cos x=\sin\lp\dfrac{\pi}{12}\rp$
\qquad
k)\ $\sin x=\cos x$
\qquad
l)\ $\cos(2x)=\sin\lp \dfrac{x}{2}\rp$
\enex

\subsection{Formules d'addition et de duplication}

\noindent
\bgmp{13cm}
\bgex
On considère les points $M$ et $N$ du cercle trigonométrique 
donnés sur le graphique ci-contre. 

\bgen
\item Donner les coordonnées des points $M$ et $N$, 
  puis des vecteur $\V{OM}$ et $\V{ON}$. 
  En déduire une expression de $\V{OM}\cdot\V{ON}$. 

  En utilisant une autre expression du produit scalaire 
  $\V{OM}\cdot\V{ON}$, donner une formule exprimant $\cos(a-b)$ 
  à l'aide des cosinus et sinus de $a$ et $b$. 

\item Appliquer la formule précédente avec les nombres $a$ et $-b$ 
  afin d'obtenir une formule exprimant $\cos(a+b)$. 
\item Appliquer la formule précédente avec les nombres $\dfrac\pi2-a$ et $-b$ 
  afin d'obtenir une formule exprimant $\sin(a+b)$. 
\item Appliquer la formule précédente avec les nombres $a$ et $-b$ 
  afin d'obtenir une formule exprimant $\cos(a-b)$. 
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=2.5cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.1)(1.3,1.2)
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \psline(-1.2,0)(1.2,0)
  \psline(0,-1.2)(0,1.2)
  \pscircle(0,0){1}
  %
  \rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.05,0.58){$M$}
  \psline(0,0)(0.866,0.5)
  \psarc{->}(0,0){0.5}{0}{30}\rput(0.58,0.13){$b$}
  %
  \rput(0.706,0.706){$\bullet$}\rput(.84,0.8){$N$}
  \psline(0,0)(0.707,0.707)
  \psarc{->}(0,0){0.75}{0}{45}\rput(0.78,0.3){$a$}
\end{pspicture}
\]
\enmp

\bgprop{\bf{Formules d'addition: } 
  \[\bgar{l}
  \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \\
  \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \\
  \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\\
  \sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a\\
  \enar\]
  \bf{ Formule de duplication:} 
  \[\bgar{l}
  \cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a\\
  \sin(2a)=2\sin a\cos a
  \enar\]
}

\bgex
\`A l'aide des formules d'addition, montrer que: 
\bgen[a)]
\item 
  $2\cos\lp\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\rp
  =\sqrt3\cos\lp\dfrac23x\rp+\sin\lp\dfrac23x\rp$
\item 
  $\sin\lp x+\dfrac{5\pi}{6}\rp
  =-\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x$
\item 
  $4\sin\lp2x-\dfrac\pi4\rp
  =2\sqrt2\sin(2x)-2\sqrt2\cos(2x)$
\enen
\enex

\bgex
En utilisant les formules d'addition, donner les valeurs exactes 
des cosinus et sinus de: 

a) $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ \qquad
b) $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}$ \qquad
c) $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}$. 
\enex


\section{Nombres complexes}

\subsection{Formes algébrique et trigonométrique}

Tout nombre complexe s'écrit sous la forme algébrique 
$z=x+yi$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels, et 
$i$ est un nombre (non réel !) tel que $i^2=-1$. 

Les règles de calcul algébriques sur les nombres réels 
s'étendent aux nombres complexes en prenant en plus en compte 
que $i^2=-1$. 

\bgex
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-i)^2$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $i^3$ \quad
$\bullet$\ $i^4$ \quad
$\bullet$\ $i^5$ \quad
$\bullet$\ $i^{2000}$ \quad
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$

\enex


\noindent
\bgmp{10cm}
\bgdef{
  Dans le plan complexe un point $M$ peut-être repéré par ses
  coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$, 
  ou par ses coordonnées polaires $(r;\theta)$, 
  avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$.

  \vspd
  On a les relations: 
  \[ 
  \la\bgar{ll}
  r=\sqrt{x^2+y^2} \\ 
  \dsp\cos\theta=\frac{x}{r}\ ,\ \sin\theta=\frac{y}{r}
  \enar\right.
  \Longleftrightarrow
  \la\bgar{ll}
  x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta
  \enar\right.
  \]


  \vsp
  L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors, 
  \[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)
  \]
  \bgmp{18cm}
  Cette écriture est la {\bf forme trigonométrique} de $z$.
  \enmp
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(3,3.)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.5)(0,3.5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)

  \rput(-0.2,-0.2){$O$}%\put(1,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,1){$\vec{v}$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.5)(4,2.5)
  \put(2.8,2.7){$M(z=x+iy)$}
  \rput(3.8,-0.2){\scriptsize$x\!=\!r\cos\theta$}
  \rput(-0.6,2.5){\scriptsize$y\!=\!r\sin\theta$}
  %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
  \rput{35}(2.2,1.65){$r\!=\!|z|$\scriptsize{$\!=\!\sqrt{x^2+y^2}$}}

  \pscircle(0,0){2}

  \psarc{->}(0.4,0.3){0.5}{-25}{30}
  \rput(1.55,0.35){\scriptsize$\theta\!\!=\!\!\mbox{arg(z)}$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.08)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.08)(1.7,1.08)
  \rput(-0.4,1.1){\scriptsize$\sin\theta$}
  \rput(1.6,-0.2){\scriptsize$\cos\theta$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
\'Ecrire sous forme trigonométrique les
nombres complexes suivants: 

\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$z_1=3$
&
$z_2=-4$
&
$z_3=2i$
&
$z_4=-1+i$
&
$z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$z_6=-17$
&
$z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&
$z_8=5i$
&
$z_9=4-4i$
&$z_{10}=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. 
\end{tabular}
\enex

\subsection{Forme exponentielle} 

\bgdef{Pour tout réel $\tht$, on pose 
  $e^{i\tht}=\cos\tht+i\sin\tht$.

  Ainsi, à partir de la forme trigonométrique: 
  pour tout nombre complexe $z$, 
  on a 
  \[z=r\lp\cos\tht+i\sin\tht\rp=re^{i\tht}\]
}

$e^{i\tht}$ est une exponentielle complexe. 
En particulier, toutes les propriétés algébriques de l'exponentielle 
s'étendent aux nombres complexes: 
\bgen[$\bullet$]
\item Produit: si $z=re^{i\tht}$ et $z'=r'e^{i\tht'}$, 
  alors $zz'=rr'e^{i\lp\tht+\tht'\rp}$
\item Inverse: si $z=re^{i\tht}$, alors 
  $\dfrac1z=\dfrac{1}{re^{i\tht}}=\dfrac1re^{-i\tht}$
\item Quotient: si $z=re^{i\tht}$ et $z'=r'e^{i\tht'}$, 
  alors $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}e^{i\lp\tht-\tht'\rp}$
\enen

\bgex
\'Ecrire les nombres de l'exercice précédent sous forme exponentielle. 
\enex

\bgex
\'Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes: \\[.4em]
$z_1=e^{i\frac{\pi}{4}}$ \qquad 
$z_2=e^{2i\frac\pi3}$ \qquad
$z_3=2e^{-i\frac\pi6}$ \qquad 
$z_4=-3e^{-i\frac\pi2}$ \qquad
$z_5=e^{i\frac\pi6}+e^{-i\frac\pi6}$ \qquad
$z_6=2e^{i\frac\pi3}+\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$
\enex

\bgex
On considère les nombres complexes 
$z_1=1+i\sqrt3$ et $z_2=1-i$. 
\bgen
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$ eet $z_2$. 
\item En déduire le module et un argument des nombres 
  $\dfrac{1}{z_1}$, $z_1\tm z_2$, $\dfrac{z_1}{z_2}$, $\lp z_1\rp^2$, 
  $\lp z_2\rp^3$.
\enen
\enex

\subsection{Conjugué d'un nombre complexe} 

\bgdef{On appelle nombre complexe conjugué du nombre $z=a+bi$, 
  le nombre, noté $\overline{z}$, 
  \[\overline{z}=a-bi\]
}

Par exemple, $\overline{3+3i}=3-2i$, \quad 
$\overline{-2-2i}=-2+2i$. 

On utilise en particulier le conjugué d'un nombre complexe pour écrire 
l'inverse ou le quotient de nombres complexes sous forme algébrique. \\
Par exemple, si $z=1+3i$, 
$\dfrac1z=\dfrac{1}{1+3i}
=\dfrac{1}{1+3i}\tm\dfrac{1-3i}{1-3i}=\dfrac{1-3i}{10}
=\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{10}i$. 

\bgex\!\!\!\!
\'Ecrire sous forme algébrique: 
a) $\dfrac{1}{2+3i}$ \quad 
b) $\dfrac{3}{4-i}$ \quad 
c) $\dfrac{3+i}{2-i}$ \quad 
d) $\dfrac{1+i}{1-i}$ \quad
e) $\dfrac{1}{i}$ \ 
f) $\dfrac{3-i}{i}$
\enex

\bgprop{Le nombre conjugué du nombre complexe $z=re^{i\tht}$ 
  est $\overline{z}=re^{-i\tht}$. 
}

\bgex {\bf Vrai ou faux ?} \quad 
Soit $z_1=1-i$, $z_2=1+i\sqrt3$ et $z_3=1+i$. \\[.5em]
a) $z_1z_2=2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{12}}$ \qquad 
b) $z_1\overline{z_2}=2\sqrt2e^{-i\frac{7\pi}{12}}$ \qquad
c) $\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt2e^{-i\frac{\pi}{2}}$
\enex


\bgex {\bf QCM} 
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. 
On désigne par $i$ le nombre complexe de module 1 et 
d'argument $\dfrac\pi2$.

\bgen
\item La forme algébrique du nombre complexe 
  $\dfrac{1}{2+i}$ est: \\
  a) $\dfrac23-\dfrac13i$ \qquad 
  b) $\dfrac25-\dfrac15i$ \qquad 
  c) $\dfrac25+\dfrac15i$ \qquad 
  d) $\dfrac23+\dfrac13i$ 
\item Le nombre complexe $z=-2+2i$ put se mettre sous la forme:\\[.5em] 
  a) $2\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$ \qquad 
  b) $2\sqrt2e^{3i\frac\pi4}$ \qquad 
  c) $2\sqrt2e^{5i\frac\pi4}$ \qquad 
  d) $4e^{3i\frac\pi4}$ 
\item Le nombre complexe conjugué de $z=4e^{i\frac\pi6}$ est:\\[.5em]
  a) $-4e^{i\frac\pi6}$ \qquad
  b) $4e^{7i\frac\pi6}$ \qquad
  c) $4e^{-i\frac\pi6}$ \qquad
  d) $\dfrac14e^{-i\frac\pi6}$
\item Soit $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. 
  On sait que $|z_A|=\sqrt3$ et $|z_B|=3$. 
  On sait aussi qu'un argument de $z_A$ est égal à $\dfrac\pi3$ 
  et qu'un argument de $z_B$ est égal à $\dfrac\pi4$. 

  L'écriture exponentielle du produit $z_A\tm z_B$ est:\\[.5em]
  a) $3e^{i\frac{7\pi}{12}}$ \qquad 
  b) $3\sqrt3e^{i\frac{7\pi}{12}}$ \qquad 
  c) $3\sqrt3e^{i\frac{2\pi}{7}}$ \qquad 
  d) $\dfrac{\sqrt3}{3}e^{i\frac{\pi}{12}}$ 
\item Si $z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$, 
  alors l'écriture exponentielle de $\dfrac{z_1}{z_2}$ est:\\[.5em]
  a) $\sqrt2e^{i\frac{5\pi}{12}}$ \qquad 
  b) $\sqrt2e^{i\frac{11\pi}{12}}$ \qquad 
  c) $\dfrac{\sqrt2}{2}e^{-i\frac{5\pi}{12}}$ \qquad 
  d) $\sqrt2e^{i\frac{\pi}{12}}$
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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