Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Intégration},
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pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D, intégration}
}
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}\medskip
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}\medskip
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ndef}\medskip
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Intégration}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{0.1cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$
\section{Aire sous une courbe: définition de l'intégrale}
\noindent
\bgmp{11cm}
Soit $f$ une fonction "continue" et positive sur un intervalle $[a;b]$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$.
\bigskip
On cherche à déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité
par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses,
et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
\bigskip
L'unité d'aire est donnée par le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$:
l'unité d'aire est l'aire du rectangle $OIKJ$.
\enmp\hspace{1.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}%,algebraic=true}
\psline{->}(-1.2,0)(3,0)
\psline{->}(0,-0.8)(0,4)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
\pscustom{
\psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave
\psline(2.2,0)(-.6,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
\put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}
\put(3.9,3.5){$\mathcal{C}_f$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(1.5,1){$K$}
\put(1.4,-0.4){$I$}\put(-0.4,1){$J$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgdef{
Cette aire s'appelle {\bf l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$};
on la note $\dsp\int_a^b f(x)dx$.
}
\bigskip\noindent
{\it\ul{Remarque:} Le "$x$" dans dans "$dx$" indique la variable
par rapport à laquelle on effectue les calculs:
c'est la variable d'intégration. \\
C'est une variable dite muette: la lettre qui la
désigne n'a pas d'importance:
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(u)\,du
=\int_a^b f(\alpha)\,d\alpha= \ \dots
\]
Cette notation est celle aussi rencontrée pour la dérivée
(plus souvent en physique):
$f'=\dfrac{df}{dx}$,
en électricité: $i=\dfrac{dq}{dt}$
ou encore en mécanique: $v=\dfrac{dx}{dt}$ \dots
}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$
par $f(x)=2x$.
Représenter $\mathcal{C}_f$ et calculer $\dsp\int_0^2 f(x)\,dx$.
\enex
\bgex
Calculer les intégrales
$\dsp I=\int_1^3 (2x-1)\,dx$ et
$\dsp J=\int_{-1}^1 (-2t+3)\,dt$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=2x+1$.
Déterminer de façon explicite, pour tout réel $t\geq 0$, la fonction
$\dsp F(t)=\int_0^t f(x)\,dx$.
\enex
\section{Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque}
\vspace{-1em}
\bgdef{Un fonction $f$ est continue en $a$ si
$\dsp\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Une fonction est continue sur un intervalle
si elle est continue en tout point de cet intervalle.}
\medskip
Une fonction est continue en un point lorsque $f(x)$ prend
des valeurs aussi proches que l'on veut de $f(a)$
dès que $x$ est suffisamment proche de $a$. \\
Elle est continue sur un intervalle entier si elle l'est
en tous les points de celui-ci:
graphiquement, la courbe représentative d'une fonction
continue est un trait "continu" obtenu "d'un seul trait",
sans lever le crayon.
\bgprop{Les fonctions polyn\^omes, rationnelles, racines carrées,
logarithme et exponentielle, et trigonométriques,
sinus et cosinus,
sont continues sur leur ensemble de définition.}
\bgprop{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle
$I=[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$,
alors
\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]
}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{3x^2+6x+4}{(x+1)^2}$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $I$ par
$F(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+1}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
\item En déduire la valeur de l'intégrale
$\dsp\int_0^1 f(x)\,dx$.
\enen
\enex
\bgex
Calculer les intégrales:
$\dsp I=\int_0^2 2x\,dx$ \ , \
$\dsp J=\int_1^3 (2x-1)\,dx$ \ , \
$\dsp K=\int_{-1}^1 (2t+3)\,dt$ \ , \
$\dsp L=\int_0^2 x^2 \,dx$ \ , \
$\dsp M=\int_0^1 e^x\,dx$ \ , \
$\dsp N=\int_2^4 \dfrac{1}{x+1}\,dx$ \
et \
$\dsp P=\int_0^\pi \cos x\,dx$.
\enex
\bigskip
D'une manière plus générale, pour une fonction $f$ quelconque
(continue mais pas forcément positive),
l'intégrale de $f$
sur $[a;b]$ est l'aire {\bf algébrique} du domaine
compris entre la courbe représentative de $f$
et l'axe des abscisses.
\noindent
\bgmp{9.5cm}
L'intégrale de $f$ est la somme des aires algébriques des
domaines sur lesquels $f$ garde un signe constant.
\[ \int_a^b f(x)dx =
\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_1\rp
-\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_2\rp
+\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_3\rp
-\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_4\rp
\]
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.4,-2)(6,2.2)
\psline{->}(-2,0)(3,0)
\psline{->}(0,-2)(0,2.5)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 1.2 div 2 exp 180 mul 3.14 div sin #1 3 div 3 exp add
2.8 mul -1 add
}
\pscustom{
\psplot{-1.6}{2.8}{\f{x}} \gsave
\psline(2.8,0)(-1.6,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.6}{2.8}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](-1.6,-0.2)(!-1.6 \space \f{-1.6})
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(!2.8 \space \f{2.8})
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
\put(-2.5,-0.4){$a$}\put(4,0.2){$b$}
\put(1.8,2.3){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.5,0)\put(0.4,0.1){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.3,0.4){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
%
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](-1.3,0.6){0.25}
\put(-2.05,0.5){\bf 1}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](.1,-0.5){0.25}
\put(0.05,-0.6){\bf 2}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.4,0.8){0.25}
\put(2.,0.65){\bf 3}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.5,-0.8){0.25}
\put(3.6,-0.9){\bf 4}
\end{pspicture}
\enmp
On convient de plus que:
$\dsp\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx$.
\bigskip
En résumé, l'intégrale d'une fonction est l'aire algébrique,
comptée positivement de gauche à droite
(dans le sens croissant sur l'axe des abscisses)
et au-dessus de l'axe des abscisses.
Si on souhaite calculer une aire géométrique,
on calcule l'intégrale de $f$ sur chacun des sous domaines
où $f$ est de signe constant et on ajoute les valeurs absolues
de ces aires.
\noindent
\bgmp{13.8cm}
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x)=x^2-2x-3$, et on note $\mathcal{C}_f$ a courbe
représentative dans un repère orthonormé.
\bgen
\item Donner le tableau de signes de $f(x)$.
\item Calculer l'aire du domaine hachuré sur la figure ci-contre.
\enen
\enex
\enmp\bgmp{6cm}
\[\psset{xunit=.6cm,yunit=.4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(1,-4)(3,6) % f(x)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3
\psline{->}(-3.5,0)(5.5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,6)
\nwc{\f}[1]{#1 #1 mul 2 #1 mul sub 3 sub}
\psplot{-2}{4}{\f{x}}
\pscustom{
\psplot{-2}{4}{\f{x}} \gsave
\psline(4,0)(-2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(!-2\space\f{-2})
\psline[linestyle=dashed](4,0)(!4\space\f{4})
\rput(-2,-.4){$-2$}
\rput(4,-.4){$4$}
\rput(3,3){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2-4$.
Calculer l'intégrale
$\dsp\int_0^2 f(x)\,dx$.
Représenter l'allure de la courbe représentative de $f$
et interpréter graphiquement le résultat précédent.
\enex
\bgdef{{\bf\ul{Valeur moyenne d'une fonction}}\\[.4em]
Soit $f$ continue sur $[a;b]$, avec $a<b$,
alors la valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le nombre
\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx
\]
}
\bgex
Calculer la valeur moyenne de chaque fonction
sur l'intervalle donné:\\[.5em]
\begin{tabular}{lll}
a) $f(x)=x^2$ sur $[0;1]$
&
b) $g(x)=(2-x)(x-1)$ sur $[-1;0]$
&
c) $h(x)=e^x$ sur $[0;1]$
\\[.5em]
d) $k(x)=e^{-3x+1}$ sur $[-1;1]$
&
e) $l(x)=\dfrac{2}{3x+1}$ sur $[0;3]$
&
f) $m(x)=\dfrac{5}{(2x+3)^2}$ sur $[0;1]$
\end{tabular}
\enex
%\bgex
%Une tension alternative est donnée, en fonction du temps,
%par $u(t)= 283\cos\lp \omega t\rp$,
%avec la pulsation $\omega=2\pi f$
%et la fréquence $f=50$ hertz.
%
%\bgen
%\item Calculer la valeur moyenne de la tension sur une demi-période:
% sur $[0;0,01]$.
%\item La tension efficace, notée $\hat{U}$, est définie comme
% la valeur moyenne sur une période de $\lp u(t)\rp^2$.
%\enen
%\enex
\section{Propriétés de l'intégrale}
\vspace{-1.5em}
\bgprop{{\bf\ul{Linéarité}}
Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$ et tout réel
$\lambda$,
\bigskip
\bgit
\item[$\bullet$]
$\dsp\int_a^b\Big( f(x)+g(x)\Big)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$
\bigskip
\item[$\bullet$]
$\dsp \int_a^b \lambda f(x)\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx$
\enit
}
\bgex
Calculer $\dsp I=\int_1^2 \lp x^3+\dfrac{2}{x}\rp\,dx$
et
$\dsp J=\int_1^2 \lp\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{2}{2x+1}\rp\,dx$
\enex
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgprop{{\bf\ul{Relation de Chasles}}\\[.4em]
Soit $f$ une fonction continue sur $[a;c]$, et soit $b$ un réel de
$[a;c]$, alors
\[ \int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx
\]
}
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.8,0)(5,3)
\nwc{\f}[1]{
#1 1.6 mul 180 mul 3.14 div sin
#1 div #1 add 1 add 0.8 mul}
\pscustom{
\psplot{-1.}{3}{\f{x}} \gsave
\psline(3,0)(-1,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.2}{3.2}{\f{x}}
\put(2.2,2.8){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.4)(0,3)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(3,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(-1,-0.2)(!-1 \space \f{-1} 0.4 add)\put(-1,-0.5){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(1.5,-0.2)(!1.5 \space \f{1.5} 0.4 add)\put(1.4,-0.5){$b$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(3,-0.2)(!3 \space \f{3} 0.4 add)\put(2.9,-0.5){$c$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{{\bf\ul{Positivité}}
\bgit
\item[$\bullet$] Si $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in[a;b]$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\geq 0$
\medskip
\item[$\bullet$] Si $f(x)\leq 0$ pour tout $x\in[a;b]$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leq 0$
\enit
}
\bgprop{{\bf\ul{Ordre et intégrale}}\\[.4em]
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$ telles que,
pour tout $x$ de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leq \int_a^b g(x)\,dx$
}
\section{Intégrales et primitives}
\vspace{-1em}
\bgth{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a\in I$.
Alors la fonction $F$ définie sur $I$ par
$\dsp F(x)=\int_a^x f(t)dt$
est {\bf l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$}.
}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{2x}{2x^2+1}$.
Déterminer une expression de la fonction $F$ définie par
$\dsp F(t)=\int_0^t f(x)\,dx$.
\enex
\bgex Soit $F$ la fonction définie par
$\dsp F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt$.
Déterminer le sens de variation de $F$.
\enex
\section{Aire d'un domaine délimité par deux courbes}
\bgprop{Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle
$[a;b]$, alors l'aire du domaine délimité par les courbes représentatives
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de $f$ et $g$ et les droites
d'équations $x=a$ et $x=b$ vaut
\[\mathcal{A}=\int_a^b\lp f(x)-g(x)\rp\,dx\]
ou encore, en utilisant la linéarité de l'intégrale:
\[\mathcal{A}=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx\]
}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.
\bigskip
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\bigskip
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$,
donc de la forme $x^n$, afin de chercher une primitive)}
\enex
\enmp
\bgmp{4cm}
\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-0.5,0.1)(1.2,1.)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}
\renewcommand{\g}[1]{#1 #1 mul}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
\grestore}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]
\grestore}
%
\psline{->}(-0.1,0)(1.15,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.1)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\section{Exercices}
\bgex Calculer les intégrales:\\
a) $\dsp I=\int_{-1}^1 \lp x^3+x^2+x\rp\,dx$\qquad
b) $\dsp I=\int_2^5 3\,dx$\qquad
c) $\dsp I=\int_0^3 \,dx$\qquad
d) $\dsp I=\int_{-1}^1 2r^3\,dr$\qquad
\\[.4em]
e) $\dsp I=\int_0^1 (2x+1)^3\,dx$\qquad
f) $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{1}{(2x+1)^2}\,dx$\qquad
g) $\dsp I=\int_0^1 \lp\dfrac{1}{(x+3)^2}-\dfrac{1}{(2x+3)^2}\rp\,dx$
\\[.4em]
h) $\dsp I=\int_1^2 \lp x+1+\dfrac{1}{x+1}\rp\,dx$\qquad
i) $\dsp I=\int_1^3\lp x-\dfrac1x-\dfrac{2}{x^2}\rp\,dx$\qquad
k) $\dsp I=\int_0^1\dfrac{x+1}{x^2+2x+3}\,dx$
\\[.4em]
l) $\dsp I=\int_1^e \dfrac1x\ln x\,dx$\qquad
m) $\dsp I=\int_{-1}^1 \lp2e^x+1\rp\,dx$\qquad
n) $\dsp I=\int_{\ln2}^{\ln3} e^{2x}\,dx$\qquad
p) $\dsp I=\int_0^1 \lp e^x-e^{-x}\rp\,dx$
\\[.4em]
q) $\dsp I=\int_0^{\frac\pi3} \lp\cos x-\sin x\rp\,dx$\quad
r) $\dsp I=\int_0^{\frac\pi3} \cos\lp2x\rp\,dx$\quad
s) $\dsp I=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3} \cos\lp3t+\dfrac\pi6\rp\,dx$\quad
t) $\dsp I=\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx$
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{4x-2}{x^2-1}$.
\bgen
\item Vérifier que, pour tout $x$ de $]1;+\infty[$,
on a $f(x)=\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}$.
\item En déduire la valeur de l'intégrale
$\dsp I=\int_2^4 \dfrac{4x-2}{x^2-1}$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
l'expression $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$.
Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que,
pour tout réel $x$,
$f(x)=a+\dfrac{be^x}{1+e^x}$.
En déduire $\dsp \int_0^2 f(x)\,dx$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$
par $f(x)=x\ln x-x$.
\bgen
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\item En déduire l'intégrale $\dsp I=\int_1^e\ln x\,dx$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$
par $F(x)=\dfrac12x^2\ln x-\dfrac14x^2$ est une primitive
de la fonction $f:x\mapsto x\ln x$.
\item En déduire $\dsp\int_1^{\sqrt{e}} x\ln x\,dx$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(t)=(2t+1)e^{-t}$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$
par $F(t)=(-2t-3)e^{-t}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale
$\dsp I=\int_0^1 f(t)\,dt$.
\item On définie la fonction $G$ pour $x\geqslant0$
par $G(x)=\dsp\int_0^x f(t)\,dt$.
\bgen[a)]
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Tracer dans un repère l'allure de la courbe représentative
de la fonction $f$, et interpréter à l'aide de ce graphique
la valeur $G(x)$ pour un nombre $x\geqslant0$.
\item Déterminer la limite de $G$ en $+\infty$.
\enen
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Calculer l'aire du domaine, hachuré sur la figure ci-contre,
délimité par les courbes représentatives des fonctions
$f$ et $g$ définies par
$f(x)=x^3+4$ et $g(x)=3x^2$.
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{xunit=1.4cm,yunit=.3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,13)
\psline{->}(-2.5,0)(2.5,0)
\psline{->}(0,-.2)(0,12.5)
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 4 add}
\renewcommand{\g}[1]{x 2 exp 3 mul}
\psplot{-1.3}{2.1}{\f{x}}
\psplot{-1.3}{2.1}{\g{x}}
\pscustom{
\psplot{-1}{2}{\f{x}}\gsave
\psplot{2}{-1}{\g{x}}
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)
\rput(-1,-.8){$-1$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,12)
\rput(2,-.8){$2$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgex {\bf Longueur d'une cha\^inette}
Une cha\^inette est la courbe suivant laquelle se tend un fil homogène
suspendu par ses extrémités à deux points fixes.
On admet que que la cha\^inette est la courbe représentative
de la fonction $f$ définie sur $[-1;1]$ par
$f(x)=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{4}$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\item \'Etudier alors le signe de $f'(x)$
et dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer l'allure de la cha\^inette.
\enen
\item On admet que la longueur $L$ de la cha\^inette
(déformée et étirée sous l'action de son poids)
est égale à l'intégrale
$\dsp L=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\lb f'(x)\rb^2}\,dx$.
\bgen[a)]
\item En les calculant séparemment, montrer que
les deux expressions
$1+\lb f'(x)\rb^2$ et $\lb2f(x)\rb^2$
sont égales.
\item En déduire la longueur $L$ de la cah\^inette.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgen[A.]
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$
par $g(x)=1-2\ln x$.
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative.
\bgen[1.]
\item La courbe $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses
en un point d'abscisse $\alpha$.
Déterminer la valeur exacte du réel $\alpha$.
\item Calculer la fonction dérivée $g'$ de $g$
et dresser le tableau de variation de $g$.
\item Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$
pour $x>0$.
\enen
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$
par $f(x)=\dfrac{2\ln x+1}{x}$.
\item Déterminer $\dsp\lim_{x\to0}f(x)$
et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}$.
En déduire le sens de variation de $f$.
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur
$]0;+\infty[$.
{\sl (Indication: on pourra écrire
$f(x)=2\tm\dfrac1x\tm\ln x+\dfrac1x$). }
\item Soit $\dsp I=\int_1^5 f(x)\,dx$.
Calculer $I$, et en donner une valeur approchée au centième.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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