Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: Limites de fonctions},
pdftitle={Limites de fonctions - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
limite, fonction, asymptote, exercices}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}$
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}\medskip
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
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\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Limites de fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.3cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}$STI2D
\bigskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 1:}}
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R\setminus\la-1\ra$
par $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$.
\bgen
\item Montrer que, pour tout $x\not=-1$, $f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}$
et dresser alors le tableaude variation de $f$.
\item Que se passe-t-il lorsque $x$ se rapproche de $-1$ ? Comment se
comporte $f(x)$ ?
Et lorsque $x$ devient de plus en plus grand, c'est-à-dire se
rappproche de $+\infty$ ou $-\infty$ ?
\enen
\medskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 2:}}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$
par l'expression $f(x)=\dfrac{3}{x+3}+5$.
\noindent
Tracer à l'aide d'une calculatrice la courbe
représentative de $f$.
Conjecturer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.
\medskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 3:}}
M\^eme exercice que précédemment avec $f$ définie sur
$]0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{10^{-4}}{x^2}$.
\medskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 4:}}
Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par
$g(x)=\dfrac{\lp 50+x^{10}\rp^2-2500}{x^{10}}$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Tracer à l'aide d'une calculatrice la courbe de $f$
dans une fen\^etre avec $x_{min}=0$, $x_{max}=10$,
$y_{min}=0$ et $y_{max}=1000$.
Conjecturer alors la limite en $0$ de $f$.
\item Changer la taille de la fen\^etre avec
$x_{min}=0$, $x_{max}=0,1$, $y_{min}=0$ et $y_{max}=200$.
Ce zoom permet-il de confirmer la conjecture précédente ?
\enen
\item Développer $\lp50+x^{10}\rp^2$ et montrer que,
pour tout $x>0$, $f(x)=100+x^{10}$.
En déduire la limite $\dsp\lim_{x\to0}f(x)$.
\enen
\bgex Déterminer les limites suivantes:
\noindent
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3+3x^2-6$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x+2}$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} \dfrac{1-2x}{\lp x-3\rp^2}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x-3+\dfrac{1}{x^2+x+1}\rp$
\enex
\bgex
Déduire de chacune des limites suivantes, si possible, l'équation
d'une asymptote verticale ou horizontale à la courbe représentative de
la fonction $f$.
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= 3$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} f(x)= -\infty$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= -6$
\quad
d)\ \ \limgd{x\to1}{x>1}{f(x)}$=+\infty$
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= 0$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} f(x)= -\infty$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty$
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$
par l'expression
$f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}$.
\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ en $1$ et $+\infty$.
Interpréter graphiquement ces résultats en terme d'asymptote.
\item Calculer l'expression de la dérivée $f'$ de $f$.
En déduire le sens de variation de $f$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$
(en y incluant les résultats sur les limites).
\item Représenter graphiquement l'allure de la courbe représentative
de $f$ à l'aide des résultats précédents.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de la
fonction $f$ dans chacun des cas suivants:
\bgen[a)]
\item $f$ définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-2}$
\item $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{-2x^2+x-3}{x(x-1)}$
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier les limites de la fonction $f$ aux valeurs demandées,
et interpréter graphiquement:
\noindent
a)\ $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x^2}$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\quad
b)\ $f(x)=\lp 4-x^2\rp\lp 3x-2\rp$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\vspd\noindent
c)\ $f(x)=4x-1+\dfrac{1}{x-3}$ en $3$, en $+\infty$ et en $-\infty$
\quad
d)\ $f(x)=\dfrac{4x}{4-x}$ en $0$ et en $4$
\enex
\bgex
Déterminer les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{5-\dfrac{4}{x^2}}$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 2-\dfrac{1}{x}\rp^4$
\quad
c)\ \ \limgd{x\to0}{x>0}{\sqrt{\dfrac{2-x}{x}}}
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2+9-\dfrac{16}{x^2+4}}$
\enex
\bgex
Determiner les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^5-6x^4+3x^2-12\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp x^3+x+3\rp$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x+2}{3x-7}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x^2+2x}{3x^3-7}$
\vspd
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\quad
h)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle
$\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$ par
$f(x)=2x-3+\dfrac{9}{2x+1}$. \\
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer $\dsp\lim_{x\to-\frac12}f(x)$.
\item Que peut-on dire du résultat précédent pour la courbe
$\mathcal{C}$ ?
\enen
\item Déterminer $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
Montrer que, pour tout $x$ de $\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$,
$f'(x)=\dfrac{8(x+2)(x-1)}{(2x+1)^2}$.
En déduire le tableau de variation de $f$ sur
$\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$.
Compléter ce taleau de variation en y portant les limites obtenus au
1. et 2.
\item Déduire du tableau de variation le signe de $f(x)$ lorsque $x$
varie dans $\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$.
\item Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=10$
sur $\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]2;+\infty[$
par $f(x)=x-1-\dfrac{2}{x-2}$. \\On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
et $\Delta$ la droite d'équation $y=x-1$.
\bgen
\item Déterminer les limtes de $f$ aux bornes de son ensemble de
définition.
Préciser les éventuelles asymptotes à $\mathcal{C}$.
\item
\bgen[a)]
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$.
Déterminer $f'(x)$.
\item Montrer que, pour tout $x$ de $]2;+\infty[$,
$f'(x)>0$.
En déduire le tableau de variation de $f$.
Compléter ce tableau avec les limites calculées précédemment.
Tracer alors l'allure de la courbe~$\mathcal{C}$.
\enen
\item Soit $x\in\,]2;+\infty[$;
on note $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$,
et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$.
Placer les points $M$ et $N$ sur le graphique précédent.
Déterminer la distance $MN$ en fonction de $x$,
puis la limite de cette distance lorsque $x$ tend vers~$+\infty$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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