Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques TSTI2D: logarithmes},
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pdfkeywords={Mathématiques, logarithme, TSTI2D, terminale, STI, STI2D}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
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\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{nprop}
}
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\noindent
\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip
}
\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$\\
\medskip
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions logarithmes}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\newcommand{\Cnp}[2]{%
\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$
\section{Fonction logarithme népérien}
\bgth{La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de
la fonction inverse $x\mapsto\dfrac1x$, définie sur $]0;+\infty[$
qui s'annule en 1.}
\medskip
En d'autres termes, on a pour cette fonction ln,
\bgit
\item $\ln(1)=0$
\item Pour tout réel $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac1x$
\enit
\bgcorol{Soit $I$ un intervalle de $\R$,
et $u$ une fonction strictement positive et dérivable sur $I$,
alors la fonction $f:x\mapsto \ln\lb u(x)\rb$ est dérivable sur $I$
avec, pout tout $x$ de $I$,
$f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
}
\medskip\noindent
Exemples:
\bgit
\item Sur $]0;+\infty[$, $f:x\mapsto \ln(2x)$ est de la forme
$f=\ln(u)$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$
et alors $f'(x)=\dfrac{2}{2x}=\dfrac1x$
\item Sur $]2;+\infty[$, $f:x\mapsto \ln(x-2)$ est de la forme
$f=\ln(u)$ avec $u(x)=x-2$ donc $u'(x)=1$
et alors $f'(x)=\dfrac{1}{x-2}$
\item Sur $\R$, $f:x\mapsto \ln(x^2+1)$ est de la forme $f=\ln(u)$
avec $u(x)=x^2+1$ donc $u'(x)=2x$
et alors $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$
\enit
\bgex
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative
du logarithme népérien aux points d'abscisses $\dfrac12$, 1 et 2.\\
Tracer ces tangentes et une allure possible de la courbe du logarithme
népérien.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\lp2x^2+2\rp$.
\bgen
\item Déterminer les équations des tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux
points d'abscisses $-1$, 0 et 1.
\item \`A l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs:
\[\begin{tabular}{|*{10}{p{1cm}|}}\hline
\rule[-.2cm]{0cm}{.6cm}
$x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline
\rule[-.4cm]{0cm}{1cm}$f(x)$ &&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item Placer les points de $\mathcal{C}_f$ corresponds aux valeurs
précédentes, les tangentes étudiées précédemment,
puis l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\bgex
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes:
a) $f(x)=x-2-\ln(x)$ \\[.6em]
b) $f(x)=x\ln(x)$ \quad
c) $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ \quad
d) $f(x)=\lp\ln(x)\rp^2$
e) $f(x)=(x+1)\ln(x)-x$
\\
f) $f(x)=\ln\lp\dfrac{x+3}{2-x}\rp$
g) $f(x)=0,2x+3-2,6\ln(x+2)$ \quad
h) $f(x)=\dfrac12x^2+1-\ln(x)$\\
i) $f(x)=\dfrac1x+\dfrac{\ln(x)}{x}$
j) $f(x)=\lp\ln(x)\rp^5$ \quad
k) $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x+1}$ \quad
l) $f(x)=\dfrac{3\ln(x)+1}{\ln(x)}$
\enex
\bgex
Soit la fonction f définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par
$f(x)=2\ln(x)+\dfrac{4}{x}-5$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer graphiquement,
à l'aide de la calculatrice, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item On admet que $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=+\infty$.
Que peut-on en déduire graphiquement ?
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout $x>0$,
$f'(x)=\dfrac{2x-4}{x^2}$.
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$,
et en déduire le sens de variation de $f$.
\enen
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$,
puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur
$I=\Bigl]\dfrac12;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{2}{2x-1}$.
\bgen
\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $I$.
\item Déterminer la primitive $G$ de $f$ sur $I$ qui s'annule en $5$.
\enen
\enex
\bgex
Donner l'expression d'une primitive $F$ des fonctions définies par les
expressions suivantes: \\[.4em]
a) $f(x)=\dfrac{6x}{3x^2+3}$ \quad
b) $f(x)=\dfrac{2}{2x-3}$ \quad
c) $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$ \quad
d) $f(x)=\dfrac{24x^2}{-4x^3+2}$ \quad
e) $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x+2}$ \\[.5em]
f) $f(x)=3x+4+\dfrac{1}{2x+4}$ \quad
g) $f(x)=1+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{2}{x+2}$ \quad
h) $f(x)=-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3x^2+2}{x^3+2x}-\dfrac{2x}{\lp x^2+3\rp^2}$
\enex
\section{Propriétés algébriques du logarithme}
D'après la propriété précédente,
$f:x\mapsto \ln(ax)$ a la même dérivée que la fonction $\ln$:
$f'(x)=\dfrac{a}{ax}=\dfrac1x$. \\
$f$ et $\ln$ sont donc deux primitives de la fonction inverse
$x\mapsto\dfrac1x$ et donc, il existe une constante telle que,
pour tout $x$ réel, $f(x)=\ln(x)+k$. \\
Comme $f(1)=\ln(a\tm1)=\ln(a)$,
et $f(x)=\ln(1)+k=0+k=k$,
on a donc $k=\ln(a)$ et alors
\[f(x)=\ln(ax)=\ln(x)+\ln(a)\]
\bgprop{Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs,
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
}
\noindent
En prenant $b=\dfrac1a$, on a
$\ln\lp a\tm\dfrac1a\rp=\ln(1)=0$
et par ailleurs
$\ln\lp a\tm\dfrac1a\rp=\ln(a)+\ln\lp\dfrac1a\rp=0$,
d'où
\bgprop{Pour tout réel $a>0$,
$\ln\lp\dfrac1a\rp=-\ln(a)$.
}
En écrivant alors le quotient $\dfrac{a}{b}$ comme
le produit $a\tm\dfrac1b$, on obtient maintenant
\[\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln\lp a\tm\dfrac1b\rp
=\ln(a)+\ln\lp\dfrac1b\rp
=\ln(a)-\ln(b)\]
\bgprop{Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs,
$\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)-\ln(b)$.
}
Comme $a^2=a\tm a$
et plus généralement pour un entier naturel $n$ non nul,
$a^n=a\tm a\tm\dots\tm a$,
on a aussi une expression du logarithme de la puissance d'un nombre:
\[\bgar{lcl}
\ln\lp a^2\rp
&=&\ln\lp a\tm a\rp
=\ln(a)+\ln(a)=2\ln(a) \\[.8em]
\ln\lp a^n\rp
&=&\ln\lp a\tm a\tm\dots\tm a\rp
=\ln(a)+\ln(a)+\dots+\ln(a)=n\ln(a)
\enar\]
Comme de plus, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,
on a aussi
$\ln\lp a^{-n}\rp
=\ln\lp\dfrac{1}{a^n}\rp=-\ln\lp a^n\rp
=-n\ln(a)$, et ainsi
\bgprop{Pour tout réel $a>0$ et tout entier $n$ relatif,
$\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$.}
\medskip\noindent
Par exemple,
$\ln\lp3^5\rp=5\ln(3)$,
$\ln\lp4^-2\rp=-2\ln(4)$\\
et bien sûr\dots
$\ln\lp3^1\rp=\ln(3)=1\ln(3)$
et $\ln\lp3^0\rp=\ln(1)=0=0\ln(3)$.
Avec ces propriétés sur les puissances,
on a aussi, pour les racines,
avec $a>0$,
\[\ln(a)=\ln\lp\sqrt a^2\rp=2\ln\lp\sqrt a\rp
\]
et donc
\bgprop{Pour tout réel $a>0$,
$\ln\lp\sqrt{a}\rp=\dfrac12\ln\lp a\rp$.
}
\noindent
Comme pour tout entier $n$,
$\ln\lp a^n\rp=n\ln(a)$,
on écrit de même à partir de la relation précédente,
$\sqrt{a}=a^\frac12$.
\bgex
Exprimer, en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(5)$ les valeurs de:\\
a) $\ln(10)$ \qquad
b) $\ln(25)$ \qquad
c) $\ln(16)$ \qquad
d) $\ln(400)$ \qquad
e) $\ln\lp\dfrac{2}{25}\rp$\qquad
f) $\ln\lp\dfrac58\rp$ \\
g) $\ln(0,4)$ \qquad
h) $\ln(\sqrt5)$ \qquad
i) $\ln(2\sqrt2)$ \qquad
k) $\ln(5\sqrt{10})$
\enex
\section{\'Etude de la fonction logarithme népérien}
\subsection{Sens de variation}
Par définition, la fonction logarithme népérien vérifie,
pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac1x>0$,
ce qui montre qu'elle est strictement croissante
sur $]0;+\infty[$:
\bgprop{
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ &\hspace*{2em}& $+\infty$ \\\hline
$\ln'(x)$ & &$+$ &\\\hline
&&&\\
$\ln$ &\psline(-.05,1.35)(-.05,-.68)\psline(.02,1.35)(.02,-.68)
& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-0.5,-0.4)(0.8,0.6) &\\
&&& \\\hline
\end{tabular}
}
\bgcorol{
\bgit
\item Comme de plus, $\ln(1)=0$, on remarque alors que
$\ln(x)<0\iff x\in]0;1[$
et
$\ln(x)>0\iff x\in]1;+\infty[$
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $1$ &&$+\infty$\\\hline
$\ln(x)$ & \db &$-$& \zb& $+$& \\\hline
\end{tabular}\]
\item Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$,
pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs,
\bgit
\item $\ln(a)=\ln(b)\iff a=b$
\item $\ln(a)\leqslant\ln(b)\iff a\leqslant b$
\item $\ln(a)<\ln(b)\iff a< b$
\enit
\enit
}
\medskip\noindent
Exemple 1: On considère l'équation $(E): \ln(x+3)+\ln(x)=0$.
On cherche à se ramener à une équation de la forme
$\ln(a)=\ln(b)\iff a=b$.
$(E)\iff \ln(x(x+3))=\ln(1)
\iff x(x+3)=1
\iff x^2+3x-1=0$.
Cette équation du second degré a pour discriminant
$\Delta=3^2-4\tm1\tm(-1)=13>0$
et admet donc deux solutions réelles
$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$
et
$x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$.
\medskip
\noindent
Exemple 2: On considère l'inéquation $(I): \ln(x-2)<3$.
De m\^eme que précédemment, on à se ramener à une inéquation de
la forme $\ln(a)<\ln(b)\iff a<b$.
$(I) \iff \ln(x-2)<\ln\lp e^3\rp
\iff x-2<e^3
\iff x<2+e^3$
\bgex
Résoudre les équations suivantes: \\
a) $\ln\lp x^2-4\rp=\ln(5)+2\ln(3)$ \quad
b) $\ln(x+2)=2\ln(x)$ \quad
c) $\ln(x)+\ln(x+2)=\ln(9x-12)$
\enex
\bgex
Résoudre les inéquations suivantes:\\
a) $\ln(x-2)\leqslant 0$ \quad
b) $\ln(-2x+3)> 0$ \quad
c) $\ln(2x+1)-\ln(x+1)<0$
\enex
\bgex
Déterminer le plus petit nombre $n$ tel que \\
a) $1,032^n\geqslant 4$ \qquad
b) $1,25^n\geqslant 12$ \qquad
c) $0,92^n\leqslant 0,5$ \quad
d) $0,5^n\leqslant 0,1$
\enex
\bgex
On considère la suite géomtrique $(u_n)$ de raison $q=1,04$
et de premier terme $u_0=1000$.
Déterminer la plus petite valeur de $n$pour que $u_n\geqslant 2000$.
\enex
\subsection{Limites}
Pour tout entier $p$, on a $\ln\lp10^p\rp=p\ln(10)\simeq 2,30p$,
on voit que $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.
\bgprop{
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$
et
$\dsp\lim_{x\to0}\ln(x)=-\infty$. \\[.4em]
Ainsi, la droite d'équation $x=0$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées,
est une asymptote verticale à la courbe représentative de $\ln$ en 0.
}
\medskip\noindent
Remarque: $\ln$ croît "lentement", l'image de 1 milliard par le
logarithme népérien est "seulement"
$\ln\lp10^9\rp=9\ln(10)\simeq20$\dots
mais cela ne l'empêche pas de pouvoir devenir plus grand que n'importe
quel nombre (cf. la définition de la limite infinie d'une fonction).
\bgex
Déterminer les limites suivantes: \\
a) $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x+\ln(x)$\hfill
b) $\dsp\lim_{x\to+\infty} 5x+\ln(x)$\hfill
c) $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(x)}{x}$\hfill
d) $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln\lp x^2+3\rp$\hfill
e) $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln\lp\dfrac{x^2+3}{x^2+3x+12}\rp$
\\[.5em]
f) $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln\lp\dfrac{2x^2+x-3}{x+126}\rp$\qquad
g) $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln\lp\dfrac{x^2-3x+2}{x^3-6x}\rp$ \qquad
h) $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{\ln(x)+3}{\ln(x)-5}$
\enex
\bigskip \noindent
On peut alors compléter le tableau de variation de $\ln$
\[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline
$x$ & $0$& &\hspace*{1em}1\hspace*{1em}& $+\infty$ \\\hline
$\ln'(x)$ && &$+$ &\\\hline
&&&&$+\infty$\\
$\ln$ &\psline(-.05,1.35)(-.05,-.68)\psline(.02,1.35)(.02,-.68)
&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-0.8,-0.4)(1,0.6)
\rput(0,0){0}&\\
&&$-\infty$&& \\\hline
\end{tabular}\]
et tracer l'allure de sa courbe représentative
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-3)(6,3)
\psline{->}(-.5,0)(6,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\psplot{.05}{6}{x ln}
\multido{\i=0+1}{5}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=-2+1}{5}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput(-.3,\i){\i}}
\psline[linestyle=dashed](0,1)(2.718,1)(2.718,0)\rput(2.8,-.3){$e$}
\end{pspicture}
\]
D'après ce qui précède, il existe une unique solution $x$
à l'équation $\ln(x)=1$.
On note ce nombre $e$: \quad $\ln(e)=1$.
\bgex
\`A l'aide de la calculatrice,
donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du nombre $e$.
\enex
\bigskip\noindent
Par définition de ce nombre $e$, on a $\ln(e)=1$ et donc,
entre autres exemples,
$\ln\lp e^2\rp=2\ln(e)=2$,
et aussi
$\ln\lp e^{12}\rp=12$,
$\ln\lp e^{-3}\rp=-3$,
$\ln\lp\sqrt{e}\rp=\dfrac12$,
\dots
On peut alors résoudre des équations contenant un logarithme népérien:
comme $\ln\lp e^a\rp=a$, on a directement
$\ln(x)=a\iff x=e^a$
\bgex
\`A l'aide de la calculatrice,
donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la solution
de l'équation $\ln(x)=3$.
Vérifier que l'on a $x=e^3$.
\enex
\subsection{Croissances comparées en l'infini}
On a vu que la croissance en l'infini du logarithme népérien est
"lente".
On cherche à préciser cette "lenteur", en comparant ce comportement
avec celui des fonctions de référence: les polynômes.
\bgex
\`A l'aide de la calculatrice (calculs de valeurs, courbe
représentative, tableau de valeurs,\dots), conjecturer les limites:\\
a) $\dsp\lim_{x\to+\infty}x-\ln(x)$\hfill
b) $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$\hfill
c) $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}$\hfill
d) $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)$\hfill
e) $\dsp\lim_{x\to0}x\Bigl(\ln(x)\Bigr)^4$
\enex
Les limites de cet exercice sont toutes des formes indéterminées.
Le théorème suivant permet de les lever:
\bgth{$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$,
et plus généralement, pour tout entier non nul $n$,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0$.
\\[.8em]
De même en 0,
$\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)=0$,
et pour tout entier non nul $n$,
$\dsp\lim_{x\to0}x^n\ln(x)=0$.
}
En d'autres termes, le logarithme est négligeable, en 0 et l'infini,
devant les fonctions polynômes.
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$
par $f(x)=x-\ln(x)$.
\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe
représentative de $f$ au point d'abscisse 1.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer les limites en $+\infty$ des fonctions suivantes:\\[.5em]
a) $f(x)=x^2+\dfrac{\ln(x)}{x}$ \quad
b) $f(x)=x-\ln(x)$ \quad
c) $f(x)=x^2-6x-\ln(x)$ \quad
d) $f(x)=3x^3+2x^2+5\ln(x)$ \\[.5em]
e) $f(x)=\dfrac{1+\ln(x)}{x}$\quad
f) $f(x)=\dfrac{\ln(x)+16}{x+6}$ \quad
g) $f(x)=\dfrac1x+\dfrac{x}{\ln(x)}$ \quad
h) $f(x)=\dfrac{x+1}{\ln(x)+1}$
\enex
\section{Logarithme décimal}
\bgdef{La fonction logarithme décimal, notée $\log$,
est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par l'expression
$\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
}
Exemples de valeurs:
$\log(1)=\dfrac{\ln(1)}{\ln(10)}=0$ ;
$\log(10)=\dfrac{\ln(10)}{\ln(10)}=1$;
$\log(100)=\log\lp10^2\rp=\dfrac{\ln\lp10^2\rp}{\ln(10)}=\dfrac{2\ln(10)}{\ln(10)}=2$;
et plus généralement,
$\log\lp10^n\rp=\dfrac{\ln\lp10^n\rp}{\ln(10)}=\dfrac{n\ln(10)}{\ln(10)}=n$;
\bigskip\noindent
Remarque: $\log(x)=\dfrac{1}{\ln(10)}\ln(x)=k\ln(x)$,
avec $k\simeq 2,30$,
et la fonction logarithme décimal a les m\^emes propriétés
que la fonction logarithme népérien: sens de variation, signe, limites\dots
\medskip
La base 10 joue ici le r\^ole de la bse $e$ pour le logarithme
népérien.
En particulier,
pour le logarithme népérien
$\ln(x)=n\iff x=e^n$,
et pour le logarithme décimal,
$\log(x)=n\iff x=10^n$:
le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction puissance
de 10: $x\mapsto 10^x$.
\medskip
Le logarithme décimal est très utilisé en physique:
pH d'une solution ou encore intensité en décibel d'un son.
\bgex \textbf{Intensité acoustique en dB et isolation phonique}
L'intensité acoustique en décibels (dB) d'un son est donnée
par $L=10\log\lp\dfrac{I}{I_0}\rp$,
où $I$ est l'intensité du son étudié et $I_0$ une intensité de référence
($I$ et $I_0$ en Watts par mètres carrés, $W.m^{-2}$).
On donne $I_0=10^{-12}\,W.m^{-2}$.
\bgen[A.]
\item
\bgen[1.]
\item Un haut parleur diffuse de la musique; l'intensité
du son est égale à $10^{-6}\,W.m^{-2}$.
Calculer l'intensité acoustique $L_1$ en dB.
\item On ajoute un deuxième haut parleur identique au premier,
et l'intensité du son double.
Calculer l'intensité acoustique en dB correspondante.
A-t'on $L_2=2L_1$ ?
\item On multiplie par 10 l'intensité sonore
(ou on utilise 10 haut parleurs identique simultanément).
Calculer l'intensité acoustique en dB correspondante.
\item Le seuil de danger pour l'oreille humaine est à 90\,dB.
Calculer l'intensité du son correspondante.
\enen
\item \textbf{Isolation phonique}
On dispose de plaques d'isolation phonique permettant d'absorber
$8\%$ de l'intensité du son qui lui parvient.
Pour concevoir un système d'isolation performant,
on superpose ces plaques.
On utilise pour tester notre système d'isolation
une source de référence qui émet un son d'intensité 100dB.
\bgen[1)]
\item Déterminer l'intensité du son après atténuation par une plaque.
\item Déterminer l'intensité du son après atténuation par deux plaques
successives.
\item On note $u_n$ l'intensité du son mesurée après la traversée
de $n$ plaques.
\bgen[a)]
\item Donner $u_0$, $u_1$ et $u_2$, puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction
de $u_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$.
En déduire l'expression $u_n$ en fonction de $n$ et $u_0$.
\item Quelle intensité sonore obtient'on avec 10 plaques ?
\item Combien de plaques faut-il utiliser pour que l'intensité
du son devienne inférieur à 1dB.
\enen
\enen
\enen
\enex
\section{Autres fonctions logarithmes}
Plus généralement, pour $a>0$, on définit le logarithme de base $a$
par $\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$.
Le logarithme népérien est le logarithme de base $e$:
$\log_e(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(e)}=\ln(x)$, car $\ln(e)=1$;
le logarithme décimal est le logarithme de base $10$.
\medskip
Une autre fonction logarithme assez utilisée est le logarithme de base 2
(ou logarithme binaire):
$\log_2(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(2)}$.
Exemples de valeurs:
$\log_2(1)=\dfrac{\ln(1)}{\ln(2)}=0$ ;
$\log_2(2)=\dfrac{\ln(2)}{\ln(2)}=1$;
$\log_2(4)=\log\lp2^2\rp=\dfrac{\ln\lp2^2\rp}{\ln(2)}=\dfrac{2\ln(2)}{\ln(2)}=2$;
$\log_2(8)=\log\lp2^3\rp=\dfrac{\ln\lp2^3\rp}{\ln(2)}=\dfrac{3\ln(2)}{\ln(2)}=3$;
et plus généralement,
$\log\lp2^n\rp=\dfrac{\ln\lp2^n\rp}{\ln(2)}=\dfrac{n\ln(2)}{\ln(2)}=n$;
\medskip
Comme pour le logarithme décimal, toutes les propriétés de la fonction
logarithme népérien s'étendent au logarithme de base deux. \\
Ce logarithme est notamment grandement utilisé en informatique
où l'information contenue dans un bit (binary digit) ne peut prendre
que deux valeurs (codées 0 ou 1). \\
Avec deux bits, on peut coder $2^2$ valeurs différentes;
vec un octet, soit 8 bits, on peut coder $2^8=256$ valeurs\dots
\label{LastPage}
\end{document}
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