Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: Estimation - Echantillonnage},
pdftitle={Exercices: Estimation - Echantillonnage},
pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D,
estimation, échantillonnage,
probabilité, probabilités, loi normale,
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% Raccourcis diverses:
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
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\vspt\noindent%
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\hfill$\square$%
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Echantillonnage - Estimation - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$
\bgex {\bf Dimensionnement d'une cantine}
Dans un établissement de 3000 personnes, chaque personne peut ou non,
librement, manger à la cantine chaque jour.
En moyenne 65\% des personnes y mangent.
On souhaite estimer le nombre de places assises dans la cantine telle
manière que toutes les personnes aient une place pour manger.
Par ailleurs, par soucis d'économie, on souhaite aussi que le nombre
de places prévues soit minimal.
Combien de places doit-on prévoir ?
\enex
\bgex {\bf Contrôle qualité}
Dans une usine, le responsable de la fabrication affirme que la
proportion de produits défectueux fabriqués est de 20\%.
Sur la chaîne de fabrication on a prélevé au hasard 72 produits,
et on a constaté que 24 d'entre eux étaient défectueux.
\bgen
\item Quelle est la proportion de produits défectueux dans
l'échantillon prélevé ?
\item Que penser de l'affirmation du responsable de la fabrication ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Influence du climat sur la couleur des yeux}
En France, la proportion de personnes ayant les yeux bleus est de
31\%.
Dans une grande ville française, au micro-climat particulièrement
ensoleillé, sur 50 personnes rencontrées au hasard, on a recensé 10
personnes ayant les yeux bleus.
\bgen
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95\% de la proportion
de personnes ayant les yeux bleus dans un échantillon de 50
personnes.
\item Peut-on attribuer au micro-climat une influence spécifique sur
la couleur des yeux ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Influence d'une usine à proximité}\\
Selon l'Institut national des études démographiques (INED), il naît
normalement 105 garçons pour 100 filles, soit une proportion de
garçons $p=\dfrac{105}{205}\simeq 0,51$.
Aux abords d'une ville est venue s'implanter, il y a 20 ans, une
usine chimique.
La toxicité des substances manipulées et produites par cette usine est
depuis grandement source de polémique.
\vsp
Dans la maternité de cette ville, sont nés ces cinq dernières
années 693 enfants, dont seulement 332 garçons.
Les opposants à cette usine citent cette faible quantité de
naissances de garçons comme une conséquence néfaste de l'exploitation
de cette usine.
Ont-ils raison ?
\enex
\bgex {\bf Parité homme/femme}\\
Deux entreprises A et B recrutent leur personnel dans un bassin
d'emploi où il y a autant d'hommes que de femmes.
L'entreprise A emploie 60 personnes dont 26 femmes, tandis que
l'entreprise B emploie 1050 personnes dont 480 femmes.
\bgen
\item Calculer les proportions de femmes employées dans chaque
entreprise.
Laquelle de ces deux entreprises semble au mieux respecter la parité
homme-femme ?
\item Déterminer pour chaque entreprise l'intervalle de fluctuation au
seuil de 95\,\% de la proportion de femmes employées.
Les deux entreprises respectent-elles la parité au seuil d'erreur de
5\,\% ?
\enen
\enex
\bgex
Avant le premier tour de l'élection présidentielle de 2002 un sondage
IPSOS, réalisé
auprès de 989 personnes constituant un échantillon national
représentatif de la population française inscrite sur les listes
électorales, annonçait les intentions de vote suivantes:
20\,\% pour J. Chirac, 18\,\% pour L. Jospin et 14\,\% pour J.M. Le
Pen.
Les médias se préparaient donc pour un second tour entre J. Chirac et
L. Jospin.
Le résultat réel des votes à ce premier tour a alors surpris bien des
personnes \dots
\bgen%\setlength{\itemindent}{-1em}
\item Déterminer, pour chaque candidat, l'intervalle de confiance au
niveau de confiance de 0,95 de la proportion d'électeurs ayant eu
l'intention de voter pour lui.
\item Les résultats à l'issue du premier tour ont été les suivants:
19,88\,\% pour J. Chirac, 16,18\,\% pour L. Jospin et 16,86\,\% pour J.M. Le
Pen.
Ces pourcentages sont-ils en accord avec les calculs précédents ?
\item Pouvait-on au vu de ce sondage écarter avec un niveau de
confiance de 0,95 l'un de ces trois~candidats ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Test de l'efficacité d'un médicament}\\
Un laboratoire pharmaceutique met en place un test pour estimer
l'efficacité d'un nouveau médicament contre les migraines.
Deux groupes de 125 patients souffrant de migraines, considérés comme
des échantillons aléatoires, participent à ce test.
On administre aux patients du groupe A le nouveau médicament, tandis
que les patients du groupe B reçoivent un placebo.
Au bout de 4 jours de traitement, 73 patients du groupe A et 64
patients du groupe B déclarent ressentir une diminution de l'intensité
de leurs migraines.
\bgen
\item Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance
de 0,95 des proportions de patients déclarant ressentir une
diminution de l'intensité de leurs migraines, dans chaque
échantillon.
\item Les intervalles de confiance permettent-ils, au niveau de
confiance 0,95, de considérer que le médicament est plus efficace
que le placebo ?
\item Quelle devrait-être la taille minimale de chaque échantillon
pour que, avec des proportions indentiques à celles observées
précédemment, les résultats confirment l'efficacité du médicament,
au niveau de confiance 0,95.
\enen
\enex
\bgex {\bf Commercialisation de deuc produits concurents}\\
Un magasin s'apprête à commercialiser deux modèles d'un même produit:
le modèle A et le modèle B.
Une enquête préalable à la commande des produits par le magasin a
montré que dans une ville 63\,\% des 400 personnes interrogées
préfèrent le modèle A, et que dans une seconde ville, 69\,\% des 500
personnes interrogées préfèrent le modèle A.
\vsp
Peut-on considérer, au niveau de confiance de 95\,\% qu'il y a
une différence de préférence entre les personnes des deux villes ?
\vsp
Quelle proportion de modèle A commanderiez-vous ?
\enex
\bgex {\bf Impact d’une campagne publicitaire}\\
Une entreprise possède 12\% des parts de marché sur un de ses produits.
Elle souhaite mieux se positionner sur ce produit et lance donc
une vaste campagne publicitaire.
Pour vérifier rapidement l’efficacité de cette campagne, elle procède
à une étude auprès de 50 clients
potentiels. 18 d’entre eux sont clients du produit de l’entreprise.
Peut-on considérer que la campagne a eu un impact positif ?
\enex
\bgex {\bf Don de perception extra-sensorielle}\\
Dans une expérience de perception extra-sensorielle on demande à un
sujet d'indiquer la couleur d'un jeton tiré aléatoirement dans un sac
par un expérimentateur placé dans une autre pièce.
Ni le sujet, ni l'expérimentateur ne connaissent la proportion de
jetons de chaque couleur dans le sac.
\medskip
Un sujet fait le test et identifie correctement la couleur de 32
jetons sur 50 essais.
A-t'il un don de perception extra-sensorielle ?
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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