Source Latex
du cours de mathématiques
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{calc}
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\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours de mathématiques: Probabilités continues},
pdftitle={Probabilités continues},
pdfkeywords={Mathématiques, probabilités, probabilités continues, cours,
terminale STI2D, STI2D, TSTI2D,STI}
}
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citecolor = blue,
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pagecolor = red,
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}
\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
%% Environnement Prog...
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\hgn}\newlength{\hgnp}
\newlength{\hgng}
\newlength{\lgn}\newlength{\lgng}
\newlength{\hgtq}\newlength{\hgtqg}
\newlength{\lgtq}\newlength{\lgtqg}
\newlength{\lgcoin}\setlength{\lgcoin}{3ex}
\newlength{\lgshadow}\setlength{\lgshadow}{0.5ex}
\newlength{\phgn}\newlength{\phgnp}
\newlength{\phgng}
\newlength{\plgn}\newlength{\plgng}
\newlength{\phgtq}\newlength{\phgtqg}
\newlength{\plgtq}\newlength{\plgtqg}
\newlength{\plgcoin}\setlength{\plgcoin}{3ex}
\newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex}
\makeatletter
\def\Prog{\@ifnextchar[{\@with}{\@without}}
% avec un argument optionnel: le titre:
\def\@with[#1]#2#3{%
\par%\vspd%
\bgmp{\linewidth}
\hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
\emph{\textcolor{white}{\!\! #1}}} \\
\vspace*{-0.5ex}\\
\bgmp{#2}
%\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
\settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
\setlength{\plgn}{\linewidth}
\setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
\setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow}
\setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow}
\setlength{\plgtq}{\plgn}\addtolength{\plgtq}{-\lgcoin}
\setlength{\plgtqg}{\plgtq}\addtolength{\plgtqg}{\lgshadow}
\setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin}
\setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
\pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\par
\bgmp{\linewidth}#3\enmp
\enmp
\enmp
\vspd
}
% sans argument optionnel: le titre est alors "Programme Python"
\def\@without#1#2{%
\par%\vspd%
\bgmp{\linewidth}
\hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
\emph{\textcolor{white}{\!\!Programme Python}}} \\
\vspace*{-0.5ex}\\
\bgmp{#1}
%\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
\settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#1}#2\enmp}}
\setlength{\plgn}{\linewidth}
\setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
\setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow}
\setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow}
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\setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin}
\setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
\pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\par
\bgmp{\linewidth}#2\enmp
\enmp
\enmp
\vspd
}
\makeatother
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités continues}
\title{\TITLE}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}
\section{Des probabilités discrètes aux probabilités continues}
\bgex Le parking à proximité de mon travail coûte assez cher.
Le stationnement est payant de 8h à 18h.
Un agent municipal passe chaque jour, une fois par jour,
aléatoirement entre 8h et 18h.
\vspd
\noindent\textbf{\large{Partie A. \'Equiprobabilité}}
On suppose que la probabilité que l'agent passe est, à chaque instant
entre 8h et 18h, la même.
\noindent Quelle est la probabilité que je sois verbalisé par un agent
municipal si je gare ma voiture sans payer: \\[.3em]
a) de 9h à 10h ? \quad
b) de 15h à 16h ? \quad
c) de 12h à 14h ? \quad
d) de 10h30 à 12h ? \\[.3em]
e) de 11h20 à 11h35 ? \quad
f) de 11h20 à 11h21 ? \quad
g) de 11h20 à 11h20 et 30s ? \quad
h) à 10h20 ?
\bigskip
On peut représenter ce "profil" uniforme de probabilité de passage de
l'agent sur un graphique:
\[\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(6,-0.05)(20,0.35)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(6.8,0)(20,0)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.05)(7,.35)
%\nwc{\f}[1]{#1 0.5 add}
\multido{\i=8+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.32)
\rput(\i,-0.05){$\i$}
}
\psline[linewidth=1.8pt](8,0.1)(18,0.1)
\psline[linestyle=dashed](6.9,0.1)(7.9,0.1)
\rput(6.5,0.1){$0,1$}
\rput(6.6,.35){$P$}
\end{pspicture}
\]
\vspd
\noindent
\textbf{\large{Partie B. Vers un modèle plus réaliste}}
Ce "profil" constant n'est en fait pas très réaliste.
Un modèle plus réaliste pourrait être celui proposé ci-dessous,
prenant en compte un début de journée plus en douceur, une pause-déjeuner
entre midi et deux, \dots
\[\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.02)(20,0.22)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(6.8,0)(20,0)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.02)(7,0.25)
\multido{\i=8+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.22)
\rput(\i,-0.02){$\i$}}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.05)(18,0.05)
\rput[r](6.9,0.05){$0,05$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.1)(18,0.1)
\rput[r](6.9,0.1){$0,1$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.15)(18,0.15)
\rput[r](6.9,0.15){$0,15$}
\rput(6.6,0.23){$P$}
\psline[linewidth=1.8pt](8,0.05)(9,0.05)%0.05
\psline[linewidth=1.8pt](9,0.1)(10,0.1)%0.1
\psline[linewidth=1.8pt](10,0.15)(12,0.15)%0.3
\psline[linewidth=1.8pt](12,0.05)(14,0.05)%0.1
\psline[linewidth=1.8pt](14,0.1)(15,0.1)%0.1
\psline[linewidth=1.8pt](15,0.15)(17,0.15)%0.3
\psline[linewidth=1.8pt](17,0.05)(18,0.05)%0.05
\end{pspicture}
\]
De même que dans la partie A, déterminer la probabilité que je sois
verbalisé par un agent si je gare ma voiture sans payer:\\[.3em]
a) de 8h à 9h ? \quad
b) de 10h à 11h ? \quad
c) de 11h à 14h ? \quad
d) de 15h à 15h30 ? \quad
e) de 8 à 18h ?
\bigskip\noindent
\textbf{\large{Partie C. Un modèle plus réaliste et plus fin}}
\nopagebreak[4]
On peut encore affiner le profil précédent, avec un découpage horaire
plus fin:
\[
\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.02)(20,0.26)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(6.9,0)(20,0)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.02)(7,0.26)
\nwc{\f}[1]{#1 0.5 add}
\multido{\i=8+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.25)
\rput(\i,-0.02){$\i$}
}
\multido{\i=8+1}{10}{
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt,linewidth=0.4pt](!\f{\i}\space0)(!\f{\i}\space0.25)
%\rput(!\f{\i}\space-0.05){$\i.5$}
}
\rput[r](6.9,-0.005){$0$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.02)(18,0.02)
\rput[r](6.9,0.018){$0,02$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.05)(18,0.05)
\rput[r](6.9,0.05){$0,05$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.08)(18,0.08)
\rput[r](6.9,0.08){$0,08$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.12)(18,0.12)
\rput[r](6.9,0.12){$0,12$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.15)(18,0.15)
\rput[r](6.9,0.15){$0,15$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.20)(18,0.20)
\rput[r](6.9,0.20){$0,20$}
\rput(6.6,0.26){$P$}
\psline[linewidth=1.8pt](8,0.0)(8.5,0.0)% 0
\psline[linewidth=1.8pt](8.5,0.05)(9,0.05)% 5
\psline[linewidth=1.8pt](9,0.08)(9.5,0.08)% 8
\psline[linewidth=1.8pt](9.5,0.12)(10,0.12)% 12
\psline[linewidth=1.8pt](10,0.20)(11.5,0.20)% 60*
\psline[linewidth=1.8pt](11.5,0.12)(12,0.12)% 12
\psline[linewidth=1.8pt](12,0.05)(12.5,0.05)% 5
\psline[linewidth=1.8pt](12.5,0.02)(13.5,0.02)% 4
\psline[linewidth=1.8pt](13.5,0.05)(14,0.05)% 5
\psline[linewidth=1.8pt](14,0.08)(14.5,0.08)% 8
\psline[linewidth=1.8pt](14.5,0.12)(15,0.12)% 12
\psline[linewidth=1.8pt](15,0.20)(16.,0.20)% 40*
\psline[linewidth=1.8pt](16,0.15)(16.5,0.15)% 15
\psline[linewidth=1.8pt](16.5,0.12)(17,0.12)% 12
\psline[linewidth=1.8pt](17,0.02)(17.5,0.02)% 2
\psline[linewidth=1.8pt](17.5,0.0)(18,0.0)% 0
\end{pspicture}
\]
De même que précédemment, quelles sont les probabilités d'être
verbalisé: \\[.3em]
a) entre 8h et 18h ? \quad
b) entre 10h et 11h ? \quad
c) entre 11h30 et 14h ?
\vspd\noindent
\textbf{\large{Partie D. Un modèle sans sauts, et encore plus réaliste\dots}}
La probabilité de passage de l'agent peut dépendre
de façon continue (sans sauts\dots) de l'heure dans la journée.
\[
\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.02)(20,0.3)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(6.9,0)(20,0)
\psline[linewidth=.8pt]{->}(7,-0.02)(7,0.3)
\nwc{\f}[1]{#1 0.5 add}
\multido{\i=8+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.25)
\rput(\i,-0.02){$\i$}
}
\multido{\i=8+1}{10}{
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt,linewidth=0.4pt](!\f{\i}\space0)(!\f{\i}\space0.25)
%\rput(!\f{\i}\space-0.05){$\i.5$}
}
\rput[r](6.9,-0.005){$0$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.05)(18,0.05)
\rput[r](6.9,0.05){$0,05$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.10)(18,0.10)
\rput[r](6.9,0.10){$0,10$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.15)(18,0.15)
\rput[r](6.9,0.15){$0,15$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.20)(18,0.20)
\rput[r](6.9,0.20){$0,20$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](7,0.25)(18,0.25)
\rput[r](6.9,0.25){$0,25$}
\rput(6.6,0.3){$P$}
%
\psplot[linewidth=1.8pt]{8}{10}{0.125 x mul 1 sub}
\psplot[linewidth=1.8pt]{10}{12}{-0.125 x mul 1.5 add}
\psline[linewidth=1.8pt](12,0)(14,0)
\psplot[linewidth=1.8pt]{14}{16}{0.125 x mul 1.75 sub}
\psplot[linewidth=1.8pt]{16}{18}{-0.125 x mul 2.25 add}
\end{pspicture}
\]
De même que précédemment, quelles sont les probabilités d'être
verbalisé: \\[.3em]
a) entre 10h et 12h ? \quad
b) entre 10h et 11h ? \quad
c) entre 11h30 et 14h ? \quad
entre 8h et 18h ?
\bigskip\noindent
\textbf{\large{Partie E. Un autre exemple de modèle (plus réaliste ?)}}
\[\psset{xunit=1cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(6,-0.03)(20,0.24)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(6.9,0)(20,0)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(7,-0.02)(7,0.26)
\multido{\i=8+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\i,0)(\i,0.25)
\rput(\i,-0.03){$\i$}
}
\psplot[linewidth=1.9pt]{9}{12}{-1 9 div x 9 sub x 12 sub mul mul}
\rput(9.5,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[linewidth=1.9pt]{14}{17}{-1 9 div x 14 sub x 17 sub mul mul}
\psline[linewidth=1.9pt](8,0)(9,0)
\psline[linewidth=1.9pt](12,0)(14,0)
\psline[linewidth=1.9pt](17,0)(18,0)
\end{pspicture}\]
On donne cette fois:
\bgit
\item pour $8\leqslant x\leqslant 9$
et $12\leqslant x\leqslant 14$ et $17\leqslant x\leqslant 18$,
$f(x)=0$.
\item pour $9\leqslant x\leqslant 12$,
\quad $f(x)=-\dfrac19\lp x^2-21x+108\rp$.
\item pour $14\leqslant x\leqslant 17$,
\quad $f(x)=-\dfrac19\lp x^2-31x+238\rp$.
\enit
\vspd
Représenter graphiquement la probabilité que l'agent passe entre 10h
et 12h.
Exprimer cette probabilité à l'aide d'une intégrale, puis la
calculer.
\enex
\bgdef{
Si on note $X$ la variable aléatoire égale à l'heure de passage de
l'agent, alors $X$ peut prendre toutes les valeurs réelles de
l'ensemble \ul{\bf{continu}} $[8;18]$.
}
\bgdef{
La fonction $f$, définissant le "profil" de probabilité, s'appelle
la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$,
et on a alors
\[
P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp=\int_a^b f(x)\,dx
\]
On impose deux conditions à une densité de probabilité $f$,
\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\geqslant 0$
\quad{\it (les probabilités sont des nombres positifs)}
\vspd
\item $\dsp P\lp 8\leqslant X\leqslant 18\rp=\int_8^{18} f(x)\,dx=1$
\quad{\it (la somme des probabilités est 1)}
\enen
}
\bgprop{
Pour une variable aléatoire $x$ de densité de probabilité $f$
définie sur $[a;b]$,
on a
\[P\lp c\leqslant X\leqslant d\rp=\int_c^d f(t)\,dt\]
}
\bigskip\noindent
Dans la partie A, $f$ est constante: pour tout $x\in[8,18]$,
$f(x)=0,1$. \\
Dans les parties B et C, $f$ est une fonction en escalier, c'est-à-dire
constante par morceaux. \\
Dans la partie D, $f$ est une fonction affine par morceaux, et
dans la partie E, $f$ est définie par morceaux par deux arcs de
parabole. Dans ces deux derniers cas, la fonction $f$ est de plus continue.
\bigskip
On définit de plus l'espérance, la variance, et l'écart type
d'une variable aléatoire:
\bgdef{
Pour une variable aléatoire $x$ de densité de probabilité $f$
définie sur $[a;b]$,
\bgen[$\bullet$]
\item l'espérance est
$\dsp E(X)=\int_a^b xf(x)\,dx$
\item la variance est
$\dsp V(X)=\int_a^b \lp x-E(X)\rp^2 f(x)\,dx$
\item l'écart type est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
\enen
}
\section{Loi uniforme}
\bgdef{
Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[a;b]$
lorsque sa densité de probabilité~$f$ est la fonction
constante sur $[a;b]$ définie par $f(t)=\dfrac{1}{b-a}$.
}
\bgprop{Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme
sur $[a;b]$ alors, pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$,
on a
\[P\lp c\leqslant X\leqslant d\rp=\int_c^d f(t)\,dt=\dfrac{d-c}{b-a}\]
}
\bgprop{Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme
sur $[a;b]$, alors:
\bgen[$\bullet$]
\item son espérance est $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$
\item sa variance est $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$,
et son écart type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
\enen
}
\bgproof{La densité de probabilité est la fonction constante $f$
définie par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$.
\bgen[$\bullet$]
\item $\dsp E(X)=\int_a^b xf(x)\,dx=\int_a^b\dfrac{1}{b-a}xdx$.
Une primitive de $x\mapsto \dfrac{1}{b-a}x$ est
$G(x)=\dfrac{1}{b-a}\dfrac12x^2$, et donc,
et alors
\[E(X)=G(b)-G(a)
=\dfrac12\dfrac{1}{b-a}b^2-\dfrac12\dfrac{1}{b-a}a^2
=\dfrac12\dfrac{1}{b-a}\lp b^2-a^2\rp
=\dfrac12\dfrac{1}{b-a}\lp b-a\rp\lp b+a\rp
=\dfrac12(b+a)
\]
\item $\dsp V(X)=\int_a^b \lp x-\dfrac{a+b}{2}\rp^2 f(x)dx
=\int_a^b \lp x-\dfrac{a+b}{2}\rp^2 \dfrac{1}{b-a}dx
= \dfrac{1}{b-a}\int_a^b \lp x-\dfrac{a+b}{2}\rp^2dx$.
Une primitive de $x\mapsto \lp x-\dfrac{a+b}{2}\rp^2$
(de la forme $u'\,u^n$)
est $H(x)=\dfrac13\lp x-\dfrac{a+b}{2}\rp^3$, et donc
\[V(X)=\dfrac1{b-a}\lp H(b)-H(a)\rp\]
avec
$H(b)=\dfrac13\lp b-\dfrac{a+b}{2}\rp^3
=\dfrac13\lp\dfrac{b-a}{2}\rp^3$
et
$H(a)=\dfrac13\lp a-\dfrac{a+b}{2}\rp^3
=\dfrac13\lp\dfrac{a-b}{2}\rp^3
=-\dfrac13\lp\dfrac{b-a}{2}\rp^3$.
Ainsi,
\[V(X)=\dfrac{1}{b-a}\lp 2\tm\dfrac13\lp\dfrac{b-a}{2}\rp^3\rp
=\dfrac23\dfrac{1}{b-a}\dfrac{(b-a)^3}{2^3}
=\dfrac{(b-a)^2}{12}\]
\enen
}
%\setcounter{nex}{1}
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[4;24]$.
\bgen
\item Donner la fonction densité de probabilité de $X$.
\item Déterminer l'espérance de $X$, et en donner une interprétation.
\item Déterminer les probabilités:
a)$P\lp X\in[4;14]\rp$ \quad
b)$P\lp X\in[8;17]\rp$ \quad
c)$P\lp X \leqslant 12\rp$ \quad
d)$P\lp X>20\rp$ \quad
\enen
\enex
\section{Loi exponentielle}
\bgdef{Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle
de paramètre $\lambda>0$ lorsque sa densité de probabilité est
la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$.
}
\bigskip\noindent
\textsl{Exemple:}
La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est modélisé
par la loi exponentielle de paramètre $\lambda=2.10^{-4}$.
Calculer les probabilités que ce composant tombe en panne:
\bgen[a)]
\item avant 1000 heures de fonctionnement,
\item entre 4000 et 6000 heures de fonctionnement,
\item après plus de 10\,000 heures de fonctionnement
\enen
\bgprop{L'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant
la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est
$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
}
\bigskip\noindent
\textsl{Exemple:} L'espérance de la loi précédente est
$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{2.10^{-4}}=5000$:
la durée de vie moyenne d'un composant est de 5000 heures.
\bigskip
\textsl{La loi exponentielle permet de modéliser la durée de vie d'un
phénomène, d'un composant électronique par exemple, ou encore de
modéliser les phénomènes d'attente.}
\bigskip
\bgex
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle
de paramètre $\lambda=0,05$.
Calculer les probabilités: \\[.3em]
a) $P\lp X\leqslant 10\rp$ \quad
b) $P\lp X\geqslant 10\rp$ \quad
c) $P\lp X\geqslant 20\rp$ \quad
d) $P\lp X\in [10;20]\rp$ \quad
e) $P\lp X\in [15;25]\rp$
\enex
\bgex
$Y$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
parmètre $\lambda=0,002$.
Déterminer le nombre réel $x$ tel que $P\lp X\leqslant x\rp=0,3$.
\enex
\bgex
Dans un magasin, le temps d'attente en caisse est modélisé par une loi
exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$.
On considère la variable aléatoire $X$ égale au temps d'attente en
caisse. $X$ est une variable aléatoire continue qui peut prendre
toutes les valeurs de l'ensemble continu $[0;+\infty[$,
et qui suit la loi de
probabilité exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$.
\bgen
\item Déterminer la probabilité d'attendre moins de 5 minutes,
c'est-à-dire $P\lp 0\leqslant X\leqslant 5\rp$.
\item Quel est le temps d'attente moyen ?
\item Quelle est la probabilité d'attendre entre 5 et 10 min ?
\item Quelle est la probabilité d'attendre plus de 15 min ?
%\item
% \bgen[a)]
% \item Rappeler l'expression de la probabilité conditionnelle
% $P_B(A)$.
% \item Calculer est la probabilité que j'attende en caisse plus de 15
% min sachant que j'attend déjà depuis 10 min.
% \item Quelle est la probabilité que j'attende en caisse plus de 30
% min sachant que j'attend déjà depuis 25 min.
% \enen
\enen
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle
de paramètre $\lambda$.
\bgen
\item \textbf{Cas $\lambda=2$.}
\bgen[a)]
\item Donner l'expression de la fonction $f$ densité de probabilité
de $X$.
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$, et en déduire le tableau
de variation de $f$.
Compléter ce tableau avec les limites de $f$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$,
et tracer sa tangente $T$ au point d'abscisse~0.
Déterminer l'équation de cette tangente,
puis l'abscisse de son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
\enen
\item \textbf{Cas général.}
Déterminer dans le cas général, $\lambda>0$ quelconque,
l'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses de la tangente
à l'origine à la courbe de $f$.
\enen
\enex
\section{Loi normale}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$.
\bgen
\item Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $f$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
\item \'Etudier le sens de variation de $f$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\enen
\enex
\bgdef{
Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et
d'écart type $\sigma$, notée $\mathcal{N}(m;\sigma)$,
si sa densité de probabilité est la fonction
$f$ définie sur $\R$ par :\\
\[
f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi }}\,e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
\[\psset{xunit=1cm,yunit=12cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.06)(7.5,0.35)
\psline{->}(-3.5,0)(7.5,0)
\psline{->}(0,-.02)(0,.35)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=2,sigma=1.5]{-3}{7}
\psline[linestyle=dashed](2,-.01)(2,.3)
\rput(2,-.03){$\mu$}
\psline[linestyle=dashed](-.1,.268)(2,.268)
\rput[r](-.15,0.262){$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$}
\end{pspicture}\]
Pour tous réels $c$ et $d$, on a alors:
$\dsp P\lp c\leqslant X\leqslant d\rp=\int_c^d f(x)\,dx$
\[\psset{xunit=1cm,yunit=12cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.06)(7.5,0.25)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]{
\psGauss[mue=2,sigma=1.5]{-.5}{3}
\psline(3,0)(-.5,0)
}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=2,sigma=1.5]{-3}{7}
\psline{->}(-3.5,0)(7.5,0)
\psline{->}(0,-.02)(0,.3)
\psline[linestyle=dashed](-.5,-.01)(-.5,.065)
\rput(-.5,-.03){$c$}
\psline[linestyle=dashed](3,-.01)(3,.21)
\rput(3,-.03){$d$}
\end{pspicture}\]
}
\bigskip\noindent
\Prog[\!Casio\,]{0.95\textwidth}{
Menu \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST},
et enfin \texttt{NORM}\\
\newline
$\bullet$ Calcul de $P(a\leqslant X\leqslant b)$ $\to$
\texttt{Ncd} {\sl (Normal, cumulative distribution)} \\
avec pour valeurs:
\begin{tabular}[t]{ll}
\texttt{Lower} &: a \\
\texttt{Upper} &: b \\
\texttt{$\sigma$} &: 1 \\
\texttt{$\mu$} &: 0
\end{tabular}\\
puis \texttt{Calc (F1)} \dots\\
\newline
$\bullet$ Calcul de $P(X\leqslant b)$: \\
on peut procéder de même, en entrant la borne inférieure
\texttt{Lower} : $-1${\scriptsize E}$+99$
}
\bigskip\noindent
\Prog[\!TI\,]{0.95\textwidth}{
\texttt{2nd}$\to$\texttt{DISTR} \ (ou \texttt{distrib}) \\
$\bullet$ Calcul de $P(a\leqslant X\leqslant b)$ $\to$
\texttt{normalcdf} \ (ou \texttt{normalFrep})\\
puis:
\texttt{normalcdf(a,b,0,1)}\\
\newline
$\bullet$ Calcul de $P(X\leqslant b)$ $\to$
on procède de même en entrant la borne inférieure
$a=-1${\scriptsize E}$+99$: \\
\texttt{normalcdf(a,b,0,1)}
}
\vspace{3em}
\noindent\bgmp[b]{7.2cm}
Des valeurs à conna\^itre:
\bgen[$\bullet$]
\item $P\lp X\leqslant\mu\rp=P\lp X\geqslant\mu\rp=0,5$
\item $P\lp\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma\rp\simeq 0,68$
\vspd
\item $P\lp\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant\mu+2\sigma\rp\simeq 0,95$
\vspd
\item $P\lp\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant\mu+3\sigma\rp\simeq 0,997$
\enen
\enmp
\bgmp[m]{10cm}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.1)(5,0.4)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-1}{1}
\psline(1,0)(-1,0)
}
\rput(1,-0.04){$\sigma$}\psline(1,-0.01)(1,0.01)
\rput(2,-0.04){$2\sigma$}\psline(2,-0.01)(2,0.01)
\rput(3,-0.04){$3\sigma$}\psline(3,-0.01)(3,0.01)
\rput(-1,-0.04){$-\sigma$}\psline(-1,-0.01)(-1,0.01)
\rput(-2,-0.04){$-2\sigma$}\psline(-2,-0.01)(-2,0.01)
\rput(-3,-0.04){$-3\sigma$}\psline(-3,-0.01)(-3,0.01)
%\uput{0}[0]{90}(0.5,0.2){$P(0<X<\sigma)\simeq 34,1\%$}
\rput(0.5,0.15){$34,1\%$}\rput(-0.5,0.15){$34,1\%$}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-2}{-1}
\psline(-1,0)(-2,0)
}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{2}{1}
\psline(1,0)(2,0)
}
\rput(-1.45,0.04){$14\%$}\rput(1.45,0.04){$14\%$}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-3}{-2}
\psline(-2,0)(-3,0)
}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
{
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{3}{2}
\psline(2,0)(3,0)
}
\rput(-2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}\rput(2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}
\rput(-3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}\rput(3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}
\psaxes[Dx=10,Dy=10.5,dy=10.5](0,0)(-5,0)(5,0.45)
\rput(0,-0.04){$m$}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
$X$ est la variable aléatoire qui suit la loi normale
$\mathcal{N}(10;2)$.
Déterminer les probabilités:\\[.3em]
a) $P\lp X\leqslant 10\rp$ \quad
b) $P\lp X\leqslant 12\rp$ \quad
c) $P\lp X\in[8;12]\rp$ \quad
d) $P\lp X\in[6;14]\rp$ \quad
e) $P\lp X\geqslant 16\rp$
\enex
\bgex Une machine produit des objets de masse $m$ en grammes.
Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur la masse des objets
produits, $X$ suit une loi normale de moyenne 250 et d'écart
type 2.
Calculer les probabilités qu'un objet pèse:
\vsp
a) plus de 250 g\qquad
b) moins de 251 g\qquad
c) plus de 252 g \qquad
d) entre 246 et 254 g
\enex
\bgex
Une machine fabrique des condensateurs de capacité 5$\mu$F en très
grande série.
La variable aléatoire $X$ mesurant leur capacité suit la loi normale
de moyenne $m=4,96\mu$F et d'écart type $\sigma=0,05\mu$F. \\
On considère qu'un condensateur est acceptable si sa capacité est
comprise entre $4,85\mu$F et $5,15\mu$F.
\bgen
\item Calculer la probabilité pour qu'un condensateur soit
acceptable.
\item La machine est bien réglée si 99\% de sa production est
acceptable.
La machine est-elle bien~réglée ?
\enen
\enex
\bgex
Une machine fabrique des pièces circulaires en série.
A chaque pièce tirée au hasard, on associe son diamètre $x$ exprimé en
millimètre.
On définit ainsi une variable aléatoire $X$.
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=32$ et d'écart
type $\sigma=1$ (en mm).
Pour être utilisable, une pièce doit satisfaire à la norme suivante:
$31\leqslant x\leqslant 33$.
\bgen
\item Quelle est la probabilité $p$ qu'une pièce soit utilisable ?
\item Le coût de fabrication d'une pièce est noté $f$.
Dans un lot de 100 pièces fabriquées, le coût de fabrication est
donc de $100f$, tandis que le nombre de pièces utilisables est
seulement de $100p$.
Ainsi, le prix moyen de fabrication est:
$M=\dfrac{100f}{100p}=\dfrac{f}{p}$.
\bgen[a.]
\item Calculer le prix moyen de fabrication avec la machine
précédente si $f=10,80$ euros.
\bigskip
Pour diminuer le pourcentage de pièces défectueuses, on pourrait
utiliser une machine plus moderne:
son écart type serait de 0,5 mm,
et $X$ suivrait alors la loi normale $\mathcal{N}(32;0,5)$,
mais le coût de fabrication serait alors de $f_2=12$ euros avec
cette nouvelle machine.
\item Calculer pour cette nouvelle machine la probabilité $p_2$
qu'une pièce soit utilisable.
\item Déterminer le prix de revient moyen $M_2$ pour cette nouvelle
machine.
Commenter.
\enen
\enen
\enex
\bgex Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité.
On pèse les boules de pâte avant cuisson.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe
sa masse.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 700 g et d'écart type
20 g.
\bgen
\item Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732
g sont acceptées à la cuisson.
Quelle est la probabilité pour qu'une boule prise au hasard
soit acceptée à la~cuisson ?
\item Déterminer le réel positif $h$ afin que l'on
ait:
$P(700-h\leqslant X\leqslant 700+h)\geqslant 0,95$.
Interpréter ce résultat.
\enen
\enex
\section{Loi binomiale et loi Normale}
\subsection{Rappel: loi binomiale}
\bgprop{On répète $n$ fois successivement,
de manière identique et indépendante,
une expérience aléatoire qui a deux issues possibles:
un succès de probabilité $p$ et un échec de probabilité $q=1-p$.
Alors, la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès
sur les $n$ répétitions suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.
On a alors de plus,
\bgit
\item l'espérance: $E(X)=np$
\item la variance: $V(X)=np(1-p)=npq$
\item l'écart type: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$
\enit
}
\bgex
\bgen
\item On tire au hasard, successivement et avec remise,
trois cartes dans un jeu de 32 cartes.
Quelle est la probabilité de tirer un as ? deux as ?
\item On tire cette fois successivement 10 cartes.
Quelle est la probabilité de tirer deux as ?
Quelle est la probabilité de tirer au moins quatre as ?
\item Combien de cartes faut-il tirer pour que la probabilité de tirer
au moins quatre as soit supérieure à 0,95 ?
\enen
\enex
\bgth{
Pour $n$ suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités
associées à la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ par celles de la loi
normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma)$ avec $\mu=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
}
\vspq
En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par
celles de la loi normale lorsque
\ct{\fbox{$n\geqslant 50$,\quad $np\geqslant 5$\quad et\quad $nq\geqslant 5$}}.
\bgmp[t]{8cm}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=18cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-4,-0.03)(25,0.3)
\rput(12,0.22){$\mathcal{B}(10;0,6)$}
\rput(12,0.19){et}
\rput(12,0.16){$\mathcal{N}(6;1,549)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(15,0.28)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{10}{0.6}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=6,sigma=1.549]{-2}{14}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{8cm}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=20cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-7,-0.03)(20,0.15)
\rput(16,0.13){$\mathcal{B}(30;0,2)$}
\rput(16,0.1){et}
\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(20,0.21)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{30}{0.2}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=6,sigma=2.19]{-2}{20}
\end{pspicture}
\enmp
\psset{xunit=0.3cm,yunit=40cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-5.2,-0.02)(52,0.14)
\rput(10,0.1){$\mathcal{B}(50;0,5)$ et $\mathcal{N}(25;3,54)$}
\psaxes[Dx=4,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(52,0.13)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{50}{0.5}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=25,sigma=3.54]{-2}{42}
\end{pspicture}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=60cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-10.1,-0.01)(105,0.092)
\rput(25,0.06){$\mathcal{B}(100;0,5)$ et $\mathcal{N}(50;5)$}
\psaxes[Dx=10,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(105,0.09)
\psBinomial[linewidth=1.2pt]{100}{0.5}
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=50,sigma=5]{-2}{100}
\end{pspicture}
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(100;0,3)$.
\bgen
\item Donner l'espérance $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de $X$.
\item Calculer les probabilités $P\lp X\in[20;40]\rp$,
$P\lp X\in[30;35]\rp$, $P\lp X\leqslant 25\rp$
et $P\lp X\geqslant 50\rp$.
\item On approxime $X$ par la variable aléatoire $Y$ qui suit la
loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$.
Calculer les probabilités $P\lp Y\in[20;40]\rp$,
$P\lp Y\in[30;35]\rp$, $P\lp Y\leqslant 25\rp$
et $P\lp Y\geqslant 50\rp$.
Calculer l'erreur relative commise avec cette approximation.
\enen
\enex
\bgex
Une entreprise dispose d'un parc de 25 machines du même type,
fonctionnant indépendamment les unes des autres.
Au cours d'une journée une machine peut-être en panne ou fonctionner
correctement, la probabilité qu'elle tombe en panne étant de 0,035.
\bgen
\item Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de
machines tombées en panne un jour donné parmi les 25 utilisées.
On admettra que cette variable aléatoire suit une loi binomiale de
paramètres $n=25$ et $p=0,035$.
\bgen[a.]
\item Donner l'espérance mathématique et la variance de $X$.
\item Déterminer à $10^{-3}$ près les probabilités des événements
suivants:
$\bullet$ aucune machine ne tombe en panne un jour donnée;
$\bullet$ au moins 2 machines tombent en panne un jour donné.
\enen
\item Si une machine tombe en panne au cours d'une journée, on fait
appel au service de dépannage qui effectue la réparation pour que
la machine soit en service le lendemain.
Soit $Y$ la variable aléatoire prenant pour valeur le temps de
réparation en heures.
On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne 3 heures et
d'écart type 1,5 heures.
Déterminer les probabilités des événements suivants:
$\bullet$ la réparation d'une machine dépasse 6 heures;
$\bullet$ la réparation d'une machine dure moins de 1,5 heures.
\enen
\enex
\bgex Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte
des pages de texte, chaque page étant représentée par 100\,000 bits.
La probabilité pour qu'un bit soit erroné est estimé à 0,0001 et on
admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres.
\vspd\noindent
{\bf Partie A.} Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre
d'erreurs lors de la transmission d'une~page.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
Calculer la moyenne et l'écart type de $X$.
\item On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale
de paramètres $m=10$ et $\sigma=\sqrt{10}$.
Déterminer alors la probabilité pour qu'une page
comporte au plus 15 erreurs.
\enen
\bgex Les \textbf{lois de Weibull} recouvrent toute une famille de lois,
dont la fonction densité de probabilité a deux paramètres $k>0$
et $\lambda>0$ et peut s'écrire sous la forme, pour tout $x\in[0;+\infty[$,
\[
f(x) = \dfrac{k}{\lambda} \lp \frac{x}{\lambda} \rp^{k - 1} e^{-(x/\lambda)^k}\,
\]
La loi de Weibull est souvent utilisée dans le domaine de l'analyse de
la durée de vie.
\bgen
\item \'Ecrire la fonction densité de probabilité pour $k=1$.
Quelle loi retrouve-t'on ?
\item On considère la loi de Weibull de paramètres $k=2$ et
$\lambda=5$, ainsi
$f(x)%=\dfrac25\lp\dfrac{x}{5}\rp^1 e^{-(x/5)^2}
=\dfrac{2}{25}x e^{-x^2/25}$.
\bgen[a)]
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$
et déterminer son signe. \\
Dresser alors le tableau de variation de $f$.
Préciser les limites.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$.\\
Comparer avec la densité de probabilité de la loi exponentielle de
l'exercice précédent.
\item Donner une primitive $F$ de $f$ et calculer les probabilités \\[.2em]
a) $P\lp X\leqslant 5\rp$ \qquad
b) $P\lp 5\leqslant X\leqslant 10\rp$ \qquad
c) $P\lp 0\leqslant X\leqslant 10\rp$ \qquad
d) $P\lp X\geqslant 10\rp$
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