Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Suites et limites},
pdftitle={Suites numériques et limites de suites},
pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D,
suite, suites, limites}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}\medskip
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}\medskip
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ndef}\medskip
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numériques et limites}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{0.1cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $TSTI2D$
\bgex
Je décide de placer 10\,000 euros sur un compte épargne rémunéré à 4\% à
intér\^ets composés.
\bgen
\item Quel est le montant dont je dispose au bout de une année ?
de deux années ? de dix années ?
\item Au bout de combien d'années mon capital aura-t'il doublé ?
\item Combien d'années faudra-t'il attendre pour avoir un capital de
50\,000 euros ?
\enen
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n\in\N$ par
$u_n=n^2+n-1$.
\vsp
\bgen
\item Exprimer en fonction de $n$: \qquad
a)\ \ $u_{n-1}$ \qquad
b)\ \ $u_{n+1}$ \qquad
c)\ \ $u_{n+1}-u_n$ \qquad
\item La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ?
\enen
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non
nul par $u_n=\dfrac{n+1}{n^2+1}$.
\bgen
\item Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n=f(n)$.
\item Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de
$(u_n)$.
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10\,000}$, $u_{10^8}$
et $u_{10^{18}}$.
Que peut-on dire des valeurs $u_n$ lorsque $n$ devient de plus en
plus grand ?
\enen
\enex
\bgex
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies par les expressions suivantes:
1) $u_n=\dfrac{n^2-1}{n^2+1}$.
\qquad
2) $u_n=3n^2+4n-5$.
\qquad
3) $u_n=-n^3+6n^2-9n+5$.
\enex
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$.
Calculer les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$,
puis $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$.
Quel semble \^etre le comportement des valeurs $u_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ?
\enex
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac23 u_n-\dfrac16$.
Calculer les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$,
puis $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$.
Quel semble \^etre le comportement des valeurs $u_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ?
\enex
\bgex
On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par
$u_n=0,9999^n$ et $v_n=1,0001^n$.
\bgen
\item Montrer que ces deux suites sont des suites géométriques, en
precisant leurs premier terme et raison.
\item Indiquer la valeur de $n$ à partir de laquelle on a:
a) $u_n\leqslant 0,9$ \quad
b) $u_n\leqslant 0,5$ \quad
c) $u_n\leqslant 0,1$ \qquad
d) $u_n\leqslant 10^{-3}$ \quad
e) $u_n\leqslant 10^{-6}$ \qquad
f) $u_n\leqslant 10^{-9}$ \qquad
\item De m\^eme, indiquer la valeur de $n$ à partir de laquelle on a:
a) $v_n\geqslant 2$ \qquad
b) $v_n\geqslant 10$ \qquad
c) $v_n\geqslant 10^3$ \qquad
d) $v_n\geqslant 10^6$ \qquad
e) $v_n\geqslant 10^9$ \qquad
f) $v_n\geqslant 10^{30}$ \qquad
\item Quel semble \^etre le comportement de ces deux suites lorsque
$n$ devient de plus en plus grand ?
\enen
\enex
\section{Limite d'une suite}
\vspace{-0.2cm}
\subsection{Définition et exemples}
\vspace{-0.5cm}
\bgdef{On dit que $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ lorsque $n$ tend vers
$+\infty$ lorsque pour tout entier naturel $p$, on peut trouver un rang à
partir duquel tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $10^p$.
On note $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
}
%\medskip
\clearpage
Par exemple,
$\dsp\lim_{n\to+\infty}1,0001^n=+\infty$ (cf. exercice 7).
\medskip
Le rang {\sl "à partir duquel tous les termes sont supérieurs à $A$"}
est un seuil:
pour $n$ inférieur à ce seuil, les termes $u_n$ peuvent prendre
n'importe quelles valeurs; par contre, dès que $n$ lui est supérieur,
les valeurs $u_n$ ne sont plus jamais inférieures à $10^p$.
\bgex
On définit la suite $(u_n)$ par l'expression
$u_n=n^2-20n$, pour tout entier naturel $n$.
\bgen
\item Démontrer que pour tout entier $n$,
$u_n=(n-10)^2-100$.
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$u_n\geqslant 10^6$.
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$u_n\geqslant 10^{12}$.
\item Soit $p$ un entier naturel quelconque.
Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$u_n\geqslant 10^p$.
Conclure quant à la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgdef{On dit que la suite $(u_n)$ a pour limite $l$,
ou converge vers le réel $l$,
lorsque pour tout entier naturel $p$, on peut trouver un rang à partir
duquel tous les termes $u_n$ sont à une distance de~$l$ inférieure à
$10^{-p}$.
\medskip
On note $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.
}
Par exemple, on a
$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{n^2+1}=0$ (cf. exercice 3),
et
$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^2-1}{n^2+1}=1$ (cf. exercice 4).
\vspd\noindent
Exemple: Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par
$u_n=\dfrac{1}{n}+1$.
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.5)(6.5,3.8)
\psline{->}(-0.5,0)(7.8,0)\rput(7.9,-0.2){$n$}
\psline{->}(0,-0.5)(0,3.4)\rput(-0.2,3.5){$u_n$}
\nwc{\f}[1]{1 #1 div 1 add}
\psplot{0.4}{7.4}{\f{x}}
\multido{\i=1+1}{7}{
\rput(! \i \space \f{\i}){$\tm$}
\psline[linestyle=dashed](\i,0)(!\i \space \f{\i})
\rput(\i,-0.3){${\i}$}
}
\psline(-0.3,1)(7.9,1)\rput(8.4,1){$l=1$}
\psline[linestyle=dashed](-1.2,1.4)(7.9,1.4)
\psline[linestyle=dashed](-1.2,0.6)(7.9,0.6)
% Intervalle I
\psline[linewidth=1.6pt](-0.1,0.5)(-0.1,0.6)(0.1,0.6)(0.1,0.5)
\psline[linewidth=1.6pt](0,0.6)(0,1.4)
\psline[linewidth=1.6pt](-0.1,1.5)(-0.1,1.4)(0.1,1.4)(0.1,1.5)
\rput[l](-3.4,1.2){distance}
\rput[l](-3.4,0.8){inférieure à $10^{-p}$}
\end{pspicture}
Soit par exemple pour $p=2$, la distance $d=10^{-2}=0,01$.
La valeur $u_n$ est à une distance de $l=1$ inférieure à $d$ si $u_n$
est dans l'intervalle ouvert $I=]0,99\ ;\ 1,01[$.
Alors,
\[\bgar{ll}
|u_n-1|\leqslant 0,01
&\iff
0,99<u_n<1,01
\iff
0,99<\dfrac{1}{n}+1<1,01\\
&\iff
-0,01<\dfrac{1}{n}<0,01
\iff
n>\dfrac{1}{0,01}=100
\enar\]
Ainsi, dès que $n>100$, tous les termes $u_n$ sont dans l'intervalle
ouvert $I=]0,99\ ;\ 1,01[$.
On note $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$.
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par
$u_n=\dfrac{10^6}{n+1}$, pour tout $n\in\N$.
\bgen
\item Donner les valeurs des premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$,
puis de $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10^4}$, $u_{10^6}$.
Quel semble \^etre le comportement des valeurs $u_n$ lorsque $n$
devient grand ?
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$u_n\leqslant \dfrac{1}{100}$.
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$u_n\leqslant 10^{-6}$.
\item Soit $p$ un entier naturel quelconque,
déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$u_n\leqslant 10^{-p}$.
Conclure quant à la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgex Soit $\lp u_n\rp$ la suite définie pour tout entier $n$
par $u_n=\dfrac{n-2}{n+2}$.
\bgen
\item Démontrer que, pour tout entier $n$,
$u_n-1=\dfrac{-4}{n+2}$.
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$|u_n-1|\leqslant 10^{-3}$.
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$|u_n-1|\leqslant 10^{-9}$.
\item Soit $p$ un entier naturel quelconque,
déterminer à partir de quel rang $n$ on a
$|u_n-1|\leqslant 10^{-p}$.
Conclure quant à la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex
\vspace{-0.2cm}
\subsection{Limites usuelles}
\vspace{-0.5cm}
\bgprop{
\vspace{-1em}
\[
\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n^3=+\infty
\]
et plus généralement,
pour tout entier $p$ non nul
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^p=0$.
}
\vspace{-0.5cm}
\subsection{Opérations sur les limites}
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites,
et $L$ et $L'$ sont deux réels.
Le point d'interrogation correspond à une forme indéterminée,
c'est-à-dire un cas où on ne peut pas conclure directement.
\bgth{{\bf Limite de la somme $u_n+v_n$ }
\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L$ & $L$ & $L$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$
& $L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n+v_n=$
& $L+L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ &
\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par
$u_n=3+2n-\dfrac{1}{n^3}$.
On a:
\[
\left.\bgar{l}
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} 3 = 3 \\
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} 2n = +\infty \\
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3} = 0
\enar\ra
\bgar{c}
\text{Par addition des limites}\\
\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty
\enar
\]
\bgth{{\bf Limite du produit $u_n\tm v_n$ }
\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L$ & $L\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $0$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$
& $L'$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$
& $L\tm L'$
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
&\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par
$u_n=\lp 2+\dfrac{1}{n}\rp\lp 1+n^2\rp$.
Par limite des sommes,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 2+\dfrac{1}{n}\rp=2$,
et $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp 1+n^2\rp=+\infty$.
Ainsi, par limite de produit,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf Limite de l'inverse $\dfrac{1}{u_n}$ }
\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L\not=0$ & $0$ par valeurs positives
& $0$ par valeurs négatives
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{u_n}=$
& $\dfrac{1}{L}$
& $+\infty$
& $-\infty$
& $0$
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd\noindent
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par
$u_n=\dfrac{1}{n^2+\sqrt{n}}$.
Par limite de somme,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2+\sqrt{n}=+\infty$,
et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=0$.
\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf Limite du quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ }
\vspd
\hspace{-2.2cm}
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L$ & $L$
& $+\infty$ ou $-\infty$
& $L\not=0$ ou $+\infty$ ou $-\infty$
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$
& $L'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$
& $L'\not=0$
& $0$
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$
& $\dfrac{L}{L'}$
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
& \textcolor{red}{\bf ?}
& \textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspq\noindent
\ul{\bf Méthode en cas de forme indéterminée:}
On essaye dans ce cas de lever l'indétermination en transformant
l'expression (factorisation, développement, \dots)
Par exemple, soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par
$u_n=n^2-2n+4$.
On a:
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$,
et
$\dsp\lim_{n\to+\infty} -2n=-\infty$,
donc on a une forme indéterminée pour la limite de la somme.
\vspd
Néanmoins,
$u_n=n^2\lp 1-\dfrac{2n}{n^2}+\dfrac{4}{n^2}\rp
=n^2\lp 1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}\rp$, avec
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$,
et
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}\rp=1$,
d'où, par produit des limites
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} $n^2$ est le terme dominant en $+\infty$ dans
l'expression de $u_n$.
C'est lui qui impose son comportement en $+\infty$, ce qui apparaît
clairement quand on le factorise.
\bgex
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite
$(u_n)$:
\noindent
a)\ \ $u_n=n^3+\dfrac{1}{n}$
\quad
b)\ \ $u_n=(3n+1)(-7n+5)$
\quad
c)\ \ $u_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
\quad
d)\ \ $u_n=n^3-n^2-1$
\quad
e)\ \ $u_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+6}$
\noindent
f)\ \ $u_n=\dfrac{n^2+3n-5}{n^3-6n^2+1}$
\quad
g)\ \ $u_n=\dfrac{9-n^2}{(n+1)(2n+1)}$
\quad
h)\ \ $u_n=\dfrac13-\dfrac{n}{2n+1}$
\quad
i)\ \ $u_n=\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2+3}{3n^2+n+1}$
\enex
\section{Suites géométriques}
\vspace{-0.3cm}
\subsection{Définition et expression du n-ième terme}
\vspace{-0.3cm}
\bgdef{Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme
s'obtient en multipliant le précédent par le m\^eme nombre $q$.
Cette constante $q$ s'appelle la raison de la suite.
}
\bgprop{Si $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et
de raison $q$, alors, pour tout entier naturel $n$,
on a $u_n=u_0\,q^n$.
}
Remarque: si la suite commence à $u_1$, alors on a
$u_n=u_1\,q^{n-1}$;
si la suite commence au rang $n=10$,
alors $u_n=u_{10}\,q^{n-10}$,
\dots
et plus généralement, pour tous entiers $n$ et $p$,
$u_n=u_p\,q^{n-p}$.
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite géométrique définie par $u_0=8$
et pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=-\dfrac12u_n$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enex
\bgex Une population de bactéries double chaque jour.
Il y a initialement 1000 bactéries.
On note $u_n$ le nombre de bactéries le n$^\text{ième}$ jour.
\bgen
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$.
\item Déterminer le nombre de bactéries présentent au bout de 3 jours,
puis au bout de 10 jours.
\item Au bout de combien de jours, la population sera-t'elle
supérieure à 10\,000\,000.
\enen
\enex
\bgex
On place un capital de $10\,000$ euros avec intér\^ets composés au
taux de 2,3\% par an.
Cela signifie que les intér\^ets d'une année s'ajoutent au capital et
produisent à leur tour des intér\^ets l'année suivante.
On note $C_n$ le capital acquis au bout de $n$ années.
En particulier $C_0=10\,000$ euros.
\bgen
\item Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$.
\item Donner pour tout entier $n$ l'expression de $C_{n+1}$ en fonctin
de $C_n$.
En déduire que $(C_n)$ est une suite géométrique dont on précisera
la raison.
\item Donner l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'années le capital initial aura-t'il
doublé ?
\enen
\enex
\bgex
On dispose d'une citerne d'un volume de 1500 litres remplie au deux
tiers.
Chaque jour, 5\% de son contenu s'évapore.
On note $v_n$ le volume d'eau contenu dans la citerne au bout de $n$
jours.
\bgen
\item Donner la valeur de $v_0$, le volume initial d'eau dans la
citerne,
puis de $v_1$ et $v_2$.
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$.
\item Peut-on arroser, après dix jours, 65 arbustes, chacun de ceux-ci
nécessitant 10 litres d'eau ?
\enen
\enex
\bgex
Un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de
rejets de 4\% par an.
L'objectif du groupe est de diminuer globalement ses rejets, de
50\,000 tonnes par an en 2010, à une quantité inférieur à 30\,000
tonnes en 10 ans.
\bgen
\item Quelle est la quantité de rejets du groupe en 2011 ? en 2012 ?
\item On note $r_n$ la quantité de rejets l'année "$2010+n$".
\bgen[a)]
\item Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$.
Quelle est la nature de la suite $r_n$ ?
\item Exprimer alors $r_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer, à la tonne près, la quantité de rejets en 2020.
L'objectif global annoncé est-il atteint ?
\enen
\item Un taux annuel de diminution de 5\% permettrait-il de respecter
la norme ?
\enen
\enex
\subsection{Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique}
On cherche à calculer la somme
$S_n=1+q+q^2+\dots+q^n$.
En multipliant cette somme par $(1-q)$ on obtient
\[\bgar{ll}S_n(1-q)=\lp1+q+q^2+\dots+q^n\rp(1-q)
&=\lp1+q+q^2+\dots+q^n\rp\tm1-q\lp1+q+q^2+\dots+q^n\rp\\[.5em]
&=1+q+q^2+\dots+q^n-q-q^2-q^3-\dots-q^{n+1}\\[.5em]
&=1-q^{n+1}
\enar\]
ainsi, on obtient:
\bgprop{
Pour $q\not=1$, \quad
$S_n=1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
}
\medskip
On peut alors étendre ce résultat aux suites géométriques:
soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison
$q\not=1$.
Alors, on a pour tout entier $n$, $u_n=u_0\tm q^n$,
et
\[S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n
=u_0+u_0q+u_0q^2+\dots+u_0q^n
=u_0\lp1+q+q^2+\dots+q^n\rp\]
soit donc, avec le résultat précédent
\bgprop{Si $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et
de raison $q\not=1$, alors
\[S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q^n}\]
ou encore,
\[S_n=(\text{1er terme})\tm\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-raison}\]
}
\bgex
Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_0=27$ et
pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=-\dfrac13u_n$.
\bgen
\item Calculer la somme $S_{10}=u_0+u_1+\dots+u_{10}$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction $n$, puis la somme
$S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$.
Quel semble \^etre la limite de $S_n$ ?
\enen
\enex
\bgex
$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $u_2=4$
et $u_4=\dfrac{16}{9}$.
Calculer la somme $S_{15}=u_0+u_1+\dots+u_{15}$.
\enex
\subsection{Limite d'une suite géométrique}
\bgth{
Soit $q$ un réel, alors
\bgit
\item[$\bullet$] Si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n)$ converge vers
$0$: \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=0$.
\item[$\bullet$] Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ diverge vers
$+\infty$: \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=+\infty$.
\item[$\bullet$] Si $q\leqslant-1$, alors la suite $(q^n)$ n'a pas
de limite
\item[$\bullet$] Si $q=1$, alors la suite $(q^n)$ est constante,
$q^n=1$ pour tout entier $n$, et donc aussi,
\quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=1$.
\enit
}
\bigskip
Par exemple, pour $q=0,9999$, on a $-1<q<1$ et
$\dsp\lim_{n\to++\infty}0,9999^n=0$ et
de m\^eme, pour $q=1,0001$, on a $q>1$,
et
$\dsp\lim_{n\to++\infty}1,0001^n=+\infty$ (cf. exercice 7).
\bgex
Déterminer la limite des suites définies par les expressions
suivantes:
\noindent
a) $u_n=3\tm2,3^n$ \quad
b) $u_n=-600\tm 0,2^n+0,003$ \quad
c) $u_n=\dfrac{2+0,98^n}{3\tm0,97^n+6}$ \quad
d) $u_n=3\tm(-1,3)^n$
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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