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Description
Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: géométrie plane, étude de fonctions, limites et asymptotes. Asymptote oblique
Niveaux
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Géométrie plane analytique
  • Étude de fonctions
  • Asymptote oblique
Mots clé
géométrie dans le plan, vecteurs, études de fonction, dérivée, asymptote, asymptote oblique, spécialité mathématiques, terminale générale
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale S: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, TS, terminale S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Devoir maison de math\'ematiques}}

\vspace{1.5em}

{\Large{\bf Géométrie plane vectorielle et analytique}}

\noindent
\bgmp{13.6cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un carré, et $I$ et $J$ les points tels que 
$\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$. 

\vsp
Donner dans le repère orthonormal 
$(D;\V{DC},\V{DA})$ les coordonnées de tous les points de la figure. 

Démontrer alors que les vecteurs $\V{AI}$ et $\V{BJ}$ sont
orthogonaux. 
\enex
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5)
  \pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5)
  \rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$}
  \rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$}
  \psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Dans un RON, on considère les points $A(1;1)$, $B(-1;2)$ et
$C(-3;0)$. 

Donner une valeur de $\widehat{ABC}$ à $0,1$ degré près.
\enex

\bgex
$ABC$ est un triangle tel que 
$A(3;-2)$, $B(0;-1)$ et $C(1;3)$. 

\vsp
\bgen[a)]
\item Déterminer une équation de la médiatrice du segment $[AB]$. 
\item Déterminer une équation de la hauteur issue de $C$ dans le
  triangle $ABC$.
\enen 
\enex


\bgex
Dans un RON, on considère les points 
$A(-3;0)$, $B(3;-1)$ et $C(1;5)$. 

\vspd
\bgen[a)]
\item Déterminer une équation de la droite $d_1$ perpendiculaire à 
$(AB)$ et passant par $C$. 
\vsp
\item Déterminer une équation de la droite $d_2$ parallèle à
  $(AB)$ et passant par $C$.
\enen
\enex



\vspace{2em}

{\Large{\bf Analyse - Asymptote oblique}}

\bgex
Démontrer que, pour tout réel $x>0$, on a $e^x>x$. 

En déduire la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 

En déduire alors aussi la limite de $e^x$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. 
\enex

\bigskip
\fbox{
\textbf{Définitions }\bgmp[t]{16cm}On dit que la droite $\Delta$ d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique en $+\infty$ à $\mathcal{C}_f$, courbe représentative de la fonction $f$, lorsque 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\Bigl( f(x)-(ax+b)\Bigr)=0$. 

\medskip Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ signifie déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus de l'autre. 

La position relative est donnée par l'étude du signe de la différence 
$d(x)=f(x)-(ax+b)$. 
\enmp
}


\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\la-2\ra$ par
l'expression  $\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$. 

\vspd\noindent
Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=-x+3$ est asymptote
oblique à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de~$f$ en $+\infty$.  

\'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. 
\enex


\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\la-2\ra$
par 
$f(x)=\dfrac{2x^2+3x+3}{x+2}$, et on
note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal du plan. 

\bgen
\item Déterminer un nombre réel $a$ tel que, pour tout réel $x$, 
  $f(x)=2x-1+\dfrac{a}{x+2}$. 
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation 
  $y=2x-1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et 
  $+\infty$. 

\item Déterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. 
\item Représenter graphiquement ces résultats.
\enen
\enex



\bgex \\
\textbf{Partie I.}
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par: 
$g(x)=x^3-3x-4$. 

\vsp
\bgen
\item Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$. 
  \vsp
\item D\'emontrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet dans $\R$ une
  solution unique que l'on notera $\alpha$. 
  Donner une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a $10^{-2}$ pr\`es. 
\item D\'eterminer le signe de $g$ sur $\R$. 
\enen

\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie II.} 
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par: 
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$. 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal. 

\vsp
\bgen
\item Etudier les limites de $f$ aux bornes de ses intervalles de
  d\'efinition. 

  En d\'eduire l'existence de deux asymptotes verticales dont on donnera
  les \'equations. 
  \vsp
\item Calculer la d\'eriv\'ee de $f$ sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ et 
  d\'eterminer son signe. 
  \vsp
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
  \vsp
\item Montrer que pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$, 
  $\dsp f(x)=x+2+\frac{x+2}{x^2-1}$. 
  \vsp
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'\'equation $y=x+2$ est une
  asymptote oblique \`a $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
  \vsp
\item Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. 
  \vsp
\item D\'eterminer les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$
  admettant une tangente parall\`ele \`a $\Delta$.
\enen

\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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