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Coût marginal et optimums technique et économique en économie

Y. Morel


Coûts moyen et marginal

Coût moyen ou coût unitaire
Une entreprise cherche assez naturellement à minimiser ses coûts de production.
Tout aussi généralement, ce n'est pas le coût de chaque unité produite qu'elle cherche à rendre minimal, mais le coût moyen de production, c'est-à-dire le coût global de production par unité produite.
Si le coût de production pour unités produites est , alors le coût moyen est


Coût marginal

 La notion de coût marginal est centrale et fondamentale en analyse économique.
Le coût marginal de production est la variation du coût de production pour une unité supplémentaire produite.
Si est le coût de production de unités, alors le coût marginal est ainsi donné par



Rechercher à estimer ce coût marginal est assez naturel pour une entreprise puisqu'il revient d'une certaine façon à chercher à estimer l'intérêt, ou non, de produire une unité supplémentaire et donc d'accepter ou non une commande supplémentaire.

Approximation du coût marginal par la dérivée Le coût marginal est


Mathématiquement, les économistes calculent ce coût marginal grâce à la dérivée du coût total . En effet, on reconnaît dans l'expression du coût marginal


pour , qui est l'expression du taux de variation, ou d'accroissement, de la fonction en .
Si est dérivable en (ce qu'on suppose en économie), lorsque tend vers on obtient . Ici et ne tend pas vers , mais on considère que est proche de , et donc que est proche de .





Minimisation du coût moyen: optimum technique
Un objectif pour l'entreprise est de minimiser ses coûts de production, c'est-à-dire de produire un nombre d'unités tel que le coût moyen soit le plus faible possible. On parle d'optimum technique.


En représentant sur un même graphique le coût moyen et le coût marginal en fonction du nombre d'unités produites, on obtient en général un graphique du type:



Il est usuel d'observer ce type de courbe pour les fonctions de coûts moyen et marginal. En effet, ces coûts diminuent tout d'abord lorsqu'augmente la production car les coûts fixes se rentabilisent. Ensuite, au delà d'un certain seuil, la production devient de plus en plus coûteuse (complexité de la production, diversification des sites de production, sous-traitance, heures supplémentaires, …).


Il paraît donc judicieux pour une entreprise de pouvoir localiser justement ce seuil !


Propriété Le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal:
minimal .

En d'autres termes, le coût moyen est minimal à l'intersection des courbes du coût moyen et du coût marginal.




Démonstration
Raisonnement économique: si le coût marginal est inférieur au coût moyen, cela signifie qu'il est avantageux de produire une unité supplémentaire (qui coûte donc moins que la moyenne des autres produites).
Par ailleurs, lorsque le coût marginal devient supérieur au coût moyen, chaque unité supplémentaire produite coûte alors plus que celles précédentes, et le coût moyen global augmente alors.


La production optimal se situe donc à l'intersection des deux courbes.
Démonstration mathématique:
Le coût moyen est .
Si le coût moyen de production est minimal en , on a alors .
Or, et donc, pour ,

Ainsi, si le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal: le coût moyen minimum se trouve à l'intersection des deux courbes.

Optimisation du bénéfice: optimum économique
En fait, l'objectif de l'entreprise n'est pas de fabriquer à un coût unitaire le plus faible, mais de vendre ses articles produits de manière à obtenir un bénéfice, ou profit, maximum.
On parle alors d'optimum économique.


Soit le prix de vente de unités.
Comme pour le coût de fabrication, on parle alors
  • de prix moyen de vente:
  • de prix marginal de vente : la variation du prix de vente pour une unité vendue supplémentaire.
    On fait la même approximation pour le prix de vente que pour le coût de fabrication: .

Usuellement les recettes et sont décroissantes: un prix dégressif est pratiqué, par exemple proportionnellement à la quantité d'articles vendus.
On peut compléter le alors graphique précédent.





On trouve alors l'optimum économique:




Propriété
L'optimum économique, c'est-à-dire le nombre d'unités fabriquées et vendues qui maximise le bénéfice, se situe à l'intersection des courbes du prix de vente marginal et du coût de production marginal .




Démonstration
Le bénéfice réalisé pour unités fabriquées et vendues est donné par

Le bénéfice atteint un optimum en lorsque sa dérivée s'annule:

c'est-à-dire à l'intersection des courbes de et de .



Exercice
L'exercice ci-dessous est un exercice de mathématiques, de niveau première ou terminale, ES spécifiquement, mais aussi S, STI2D, ou encore STMG.




Une société fabrique des articles de sport. Le coût total de production, en euros, de articles est donné par la fonction:


  1. Déterminer les coûts fixes et le coût total induit par une production de 10 articles de sport.
  2. On appelle coût marginal la variation du coût de production pour une unité supplémentaire produite. On le note .
    Donner l'expression de en fonction de .
  3. Les économistes considèrent que la dérivée du coût de production est une bonne approximation du coût marginal. Calculer .


    On considère dans la suite que le coût marginal est donné par la dérivée : .
  4. Le coût moyen, noté , est le coût de production d'un article.
    Montrer que la dérivée du coût moyen d'un article est:


  5. Etudier les variations de et vérifier que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
  6. On suppose que le revenu total pour articles produits et vendus est donné par:

    1. Déterminer l'expression du revenu moyen pour artciles produits et vendu.
    2. Déterminer le revenu marignal .
    3. Déterminer le nombre d'articles qu'il faut produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
    4. Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonctions , , et et placer en abscisses la valeur qui minimise le coût moyen et celle qui maximise le bénéfice.

Correction:
  1. Les coûts fixes sont les coûts que l'entreprise supporte lorsque la production est nulle, soit euros.
    Pour une production de 10 articles, le coût de production est euros.
  2. Pour unités produites, le coût de production est , tandis que pour une unité supplémentaire il est de . Le coût marginal est donc, pour tout ,


  3. est une fonction polynôme donc dérivable sur , donc aussi sur , avec, pour tout , .
  4. Le coût moyen est, pour tout ,

    est la somme d'une fonction polynôme, dérivable sur , et d'une fonction inverse, qui est dérivable sur . est donc dérivable sur , donc aussi sur , avec


    Or, pour tout , , et on a donc bien, pour tout ,


  5. Le trinôme du degré a pour discriminant et n'admet donc pas de racine réelle.


    En , le coût marginal est:
    .


    On vérifie bien ainsi que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.



    1. Le revenu moyen est .
    2. Le revenu marginal est .
    3. Le bénéfice est maximal lorsque , soit lorsque : le revenu marginal est égal au coût marginal de production.


      Ce trinôme a pour discriminant et a donc deux racines et .
      Il n'y a donc qu'une seule possibilité pour le bénéfice maximal, qui est atteint en .
    4.  



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