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Transformée de Fourier - Analyse harmonique



Joseph Fourier est né le 21 mars 1768 à Auxerre, et mort le 16 mai 1830 à Paris.
Brillant scientifique: ingénieur, mathématicien et physicien, il a consacré beaucoup de son temps à l'enseignement et l'administration du département de l'Isère, dont il a été nommé préfet par Napoléon en 1802.

Fourier place son intérêt scientifique principalement dans la compréhension, la modélisation et l'analyse des phénomènes de propagation de la chaleur.
En 1810, il a développé une série d'équations différentielles qui décrivent analytiquement les phénomènes de diffusion de la chaleur: c'est ce qui donnera et sera appelé par la suite l'analyse de Fourier. Son travail sur la conduction de la chaleur fut publié en 1822 sous le titre général (pour les connaissances actuelles) "théorie analytique de la chaleur".

Ces travaux permirent certes d'améliorer les connaissances sur les phénomènes de diffusion de la chaleur, et contibuèrent d'ailleurs ainsi aux fondements de la thermodynamique, science qui étudie les échanges de chaleur et d'énergie entre systèmes, mais aussi les outils mathématiques pouvant servir à l'étude de tels phénomènes.
Ce n'est d'ailleurs que peu de temps après la publication de ses recherches que la communauté scientifique s'est rendu compte de l'importance de ses développements: les équations et théorèmes montrés par Fourier ne s'appliquent pas qu'au seul problème de la diffusion thermique, mais à la classe bien plus général de problèmes dits linéaires.

Dans son intérêt particulier pour les phénomènes de diffusion thermique et d'échanges de chaleur et d'énergie, Fourier a aussi formulé une théorie sur l'effet des gaz atmosphériques sur la température terrestre. Ces effets sont aujourd'hui bien connus sous le nom d'effet de serre.

L'étude mathématique de Fourier est une démarche maintenant très commune en mathématiques et plus généralement en sciences:
c'est une démarche analyse / synthèse.

L'analyse a pour finalité de dissoudre la complexité. L'hypothèse de travail est que la complexité d'un phénomène, ou plus particulièrement pour les applications qui vont suivre d'un signal, n'est qu'apparente et provient en réalité d'un mélange.
Un exemple concret de cette hypothèse et de ce principe peut-être expérimenté très simplement et couramment dans la situation suivante: prenons une assemblée constituée de nombreuses personnes regroupées entre elles en plus petits groupes de quelques personnes. Dans cette assemblée régne un brouhaha général, du à la superposition des nombreux dialogues, qui plus est incohérents entre eux. Maintenant, si vous êtes présent au milieu de cette assemblée, vous pouvez choisir de focaliser votre attention sur une discussion ou une autre particulière: ce bruit de fond globalement inintelligible n'apparaît seulement que comme une superposition de discussions simples.

Le but de l'analyse mathématique est justement la recherche des éléments simples qui ont été mélangés. Dans le cadre de l'analyse de signaux, ou celle de fonctions mathématiques, plusieurs questions peuvent et doivent alors se poser:
  • Quels sont, ou comment cherche-t-on ces éléments simples ?
  • Existe-t-il différentes collections d'éléments simples permettant de décrire les mêmes phénomènes ? Si oui, est-ce qu'un certain jeu d'éléments simples est plus adapté, plus concis, plus efficace ... ?
  • Ces mêmes éléments simples composent-ils effectivement, à eux seuls, tous les signaux ou fonctions mathématiques imaginables ?
  • Notre collection d'éléments simples est-elle suffisante pour décrire complètement une fonction ou un phénomène donné ?

La synthèse est le processus contraire à l'analyse. Elle consiste à reformer le signal ou phénomène de départ à partir de la connaissance de ses constituants simples. L'étape de synthèse permet de s'assurer que la dernière des questions précédente possède bien une réponse positive.


On peut citer une autre discipline scientifique utilisant grandement cette démarche: en chimie et en physique la recherche d'éléments simples a été d'une remarquable fécondité. L'analyse a fourni les corps purs, les molécules, les atomes ainsi que les particules élémentaires. Cette analyse a permis de mieux comprendre la nature même de la matière et de nombreux phénomènes physiques.
A partir de la connaissance de ces collections complètes d'éléments simples, on a pu par la suite, par exemple, synthétiser des produits répondants à des caractéristiques particulières.


Analyse
Synthèse
De l'expérience, cruciale pour Newton, sur la décomposition et recomposition (analyse / synthèse) de la lumière blanche...
...jusqu'à l'album de Pink Floyd, The Dark Side Of The Moon (1973)

Analyse de Fourier Pour l'analyse de Fourier, les éléments simples, ou éléments de base, sont les fonctions sinusoïdales: sinus et cosinus.
L'analyse de Fourier affirme qu'il est toujours possible de décrire une fonction comme une somme, éventuellement infinie, de sinusoïdes simples.
Le signal de la dernière ligne est la somme des quatre premières sinusoïdes.

Ce choix d'éléments de base peut paraître étonnant. Il correspond néanmoins au choix le plus naturel lorsque les signaux ou phénomènes considérés sont sonores ou lumineux.
En effet, dans ce cas là, un son puremement sinusoïdal correspond à une note (do, la, mi, ...), tandis qu'une onde lumineuse oscillant à une fréquence donnée correspond à une couleur (si tant est que la fréquence donnée soit dans une plage de données adéquate).
Ainsi, en terme de signaux sonore, l'analyse de Fourier affirme que chaque son est la superposition de plusieurs notes. L'analyse de Fourier permet alors de déterminer chacune de ces notes, et le poids de chacune d'entre elle dans le signal sonore global.

Représentations du signal dans l'espace des temps et dans l'espace des fréquences (espace de Fourier).
La représentation de droite s'appelle le spectre du signal.


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