Courbe du dragon

Programmation et représentation de la courbe du dragon

La courbe du dragon est un exemple, assez esthétique, de courbe obtenue via jeu du chaos.
La courbe du dragon est l'attracteur d'un IFS dont les fonctions sont données ci-dessous.
Courbe du dragon

Fonctions de l'IFS

Les fonctions de l'IFS sont:
$f_1:(x,y)\mapsto\left( \dfrac{x-y}{2} ,\ \dfrac{x+y}{2}\rp$

et
$f_2:(x,y)\mapsto\left( 1-\dfrac{x+y}{2}\ ,\ \dfrac{x-y}{2}\rp$

Dans la représentation précédente, les points obtenus par chacune de ces deux fonctions sont tracés d'une couleur différente (en bleu pour la 1ère fonction, rouge pour l'autre).

Interprétation géométrique


Les fonctions $f_1$ et $f_2$ sont des fonctions de $\R^2$ dans $\R^2$ (du plan dans lui-même).
Matriciellement, on peut les écrire, pour $X=\lp\begin{array}{c}x\\y\enar\rp$, $f_1(X)=A_1X$ et $f_2(X)=A_2X+B$, où
\[A_1=\dfrac{1}{\sqrt2}\lp\begin{array}{cc} \cos\alpha_1 & -\sin\alpha_1 \\[1em] \sin\alpha_1 & \cos\alpha_1 \enar\right) =\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\enar\right) \]

et
\[A_2=\dfrac{1}{\sqrt2}\lp\begin{array}{cc} \cos\alpha_2 & -\sin\alpha_2 \\[1em] \sin\alpha_2 & \cos\alpha_2 \enar\right) =\dfrac12\lp\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & -1\enar\right) \]

avec $\alpha_1=\dfrac\pi4$ et $\alpha_2=\dfrac{3\pi}{4}$, et $B=\lp\begin{array}{c}1\\0\enar\rp$.
Les matrices $A_1$ et $A_2$ sont des matrices de similitudes d'angles $\alpha_1$ et $\alpha_2$ et de rapport $\dfrac1{\sqrt2}$.
Par exemple, si $A(0;0)$ alors $A$ est un point fixe de $f_1$ et est tranformé en $B(1;0)$ par $f_2$;  $B(1;0)$ est lui transformé en $C\lp\frac12;\frac12\rp$ par $f_1$ et en $D\lp-\frac12;\frac12\rp$ par $f_2$

Pavage du plan

La courbe du dragon possède de nombreuses propriété, par exemple celle de pouvoir paver le plan.


Voir aussi:

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