@ccueil Seconde

Ikeda map

Trajectoires d'un système dynamique

Ikeda a utilisé le système dynamique suivant pour modéliser la propagation de la lumière à travers un résonateur optique non linéaire.

La description mathématique, la loi d'évolution du sytème dynamique suit, en-dessous.

On part à chaque fois d'un point initial aléatoire, auquel on applique la loi d'évolution, ou relation de récurrence. On obtient ainsi un ensemble de points, ceux représentés ci-dessous.
On peut aussi choisir de représenter les trajectoires, ou orbites, de chacun des points.
Sur le graphique suivant, l'échelle de couleurs permet de plus de visualiser le nombre de passage de chaque point.




Les trajectoires convergent assez clairement vers le centre de la figure: c'est l'attracteur du système dynamique.
Cet attracteur est représenté plus finement dessous.

Attracteur / limite





Description mathématique / suite récurrente

Dans le plan complexe, l'attracteur d'Ikeda, ou fractale d'Ikeda est l'ensemble des points dont les affixes complexes sont définis par la relation de récurrence, ou loi d'évolution,
\[z_{n+1}=f(z_n)\]

avec la fonction
\[f(z)=A + B z e^{iK/(|z|^2 + 1 ) + C}\]


soit la définition par récurrence:
\[ z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}\]


Dans le plan réel $z_n=x_n+iy_n$ et les coordonnées cartésiennes $(x_n;y_n)$ se construisent par récurrence selon:

\[\la\begin{array}{ll}
x_{n+1}&=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n})\\[.6em]
y_{n+1}&=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n})
\enar\right.\]

$u$ est un paramètre, et

\[t_n=0,4-{\dfrac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\]




Voir aussi: