Ensemble de Julia

Simulation et représentation

Définition des ensembles de Julia

Les ensembles de Julia se construisent à partir des suites de nombres complexes $\left( z_n\right)$ définies par la relation de récurence

$z_{n+1}=z_n^2+C$

où

est une contante (complexe).
Pour obtenir un ensemble de Julia, on fixe la valeur de

, et on fait varier la valeur intiale

de la suite $\left( z_n\right)$ . Un ensemble de Julia est, pour un C fixé, un ensemble de points du plan d'affixe

tel que la suite $\left( z_n\right)$ ne diverge pas.

Construction des ensembles de Julia par IFS et jeu du chaos

On peut aussi obtenir les ensembles de Julia en inversant la relation de récurence précédente:

$z_n=\pm\sqrt{z_{n+1}-C}$

On définit ainsi deux fonctions qui peuvent être utilisées dans le jeu du chaos: on part d'un point quelconque auquel on applique au hasard et successivement l'une ou l'autre (avec un plus ou un moins, respectivement en bleu et rouge sur la figure précédente) des fonctions précédentes.
Plus précisément, cette fonction est:

$f(x)=\sqrt{z-C}$

soit

, alors

$f(z)=f(x,y)=\sqrt{a+ib}$

où

.
La fonction

est celle qui donne une racine carrée (complexe) de

.
Ainsi, si $f(z)=\alpha+i\beta$ , on a

$\lp\alpha+i\beta\rp^2=a+ib$

soit, en développant la première identité remarquable et en identifiant les parties réelles et imaginaires:

$\la\begin{array}{ll} \alpha^2-\beta^2=a \\[.5em] 2\alpha\beta=b \enar\right.$

La première équation se réécrit $\beta^2=\alpha^2+a$ et alors, en élevant au carré la deuxième,

$\begin{array}{ll} 4\alpha^2\beta^2=b^2 &\iff 4\lp\beta^2+a\rp\beta^2=b^2 \\[.5em] &\iff \lp\beta^2\rp^2+a\beta^2-\dfrac{b^2}{4}=0 \enar$

C'est une équation bicarrée, de discriminant $\Delta=a^2+b^2\geqslant0$ et qui a pour solutions $\beta^2=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ . Comme $\sqrt{a^2+b^2}\geqslant |a|$ , il y a une seule de ces deux solutions qui est positive et

$\beta=\pm\sqrt{\dfrac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

et ensuite, par exemple, $\alpha=\dfrac{2}{\beta}$ . où, toujours,

.

Ainsi, la fonction

$f(x,y)=(\alpha,\beta)$

avec les expressions précédentes permet de définir l'IFS $\Bigl\{ f;-f\Bigr\}$ dont l'attracteur est la frontière d'un ensemble de Julia.