Courbe de Lévy

Exemple d'IFS

La courbe de Lévy, ou encore courbe en C, ou aussi courbe du crabe, est une courbe fractale.

Description mathématique / Fonctions de l'IFS


La courbe de Lévy est l'attracteur de l'IFS défini par les deux fonctions $f_1$ et $f_2$ de $\R^2$ dans lui-même,
\[f_1(x,y)=\left( \dfrac{x-y}{2},\dfrac{x+y}{2}\rp\]

et
\[f_2(x,y)=\left( \dfrac{x+y}{2}+\dfrac12,-\dfrac{x-y}{2}+\dfrac12\rp\]


Matriciellement, on peut les écrire, pour $X=\lp\begin{array}{c}x\\y\enar\rp$, $f_1(X)=A_1X$ et $f_2(X)=A_2X+B$, où
\[A_1=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\enar\right)
=\dfrac{1}{\sqrt2}\lp\begin{array}{cc} 
\cos\alpha_1 & -\sin\alpha_1 \\[1em]
\sin\alpha_1 & \cos\alpha_1 
\enar\right)
\]

et
\[A_2=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\enar\right)
=\dfrac{1}{\sqrt2}\lp\begin{array}{cc} 
\cos\alpha_2 & -\sin\alpha_2 \\[1em]
\sin\alpha_2 & \cos\alpha_2 
\enar\right)
\]

avec $\alpha_1=\dfrac\pi4$ et $\alpha_2=-\alpha=-\dfrac\pi4$, et $B=\dfrac12\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$.
Les matrices $A_1$ et $A_2$ sont les matrices des similitudes d'angles $\alpha_1$ et $\alpha_2$ et de rapport $\dfrac1{\sqrt2}$.

Courbe de De Rham

La courbe de Lévy peut aussi être vue comme un cas particulier de courde de De Rham. Ces courbes sont définies à partir des transformations complexes,

\[\la\begin{array}{l}
d_0(z)=az\\[.5em]
d_1(z)=a+(1-a)z
\enar\right.\]

ou encore, dans le plan réeel, avec $a=\alpha+i\beta$ et $z=x+iy$,

\[\la\begin{array}{ll}
d_0(z)&=(\alpha+i\beta)(x+iy)\\[.8em]
&=\bigl(\alpha x-\beta y\bigr) +i\bigl(\beta x+\alpha y \bigr)
\\[.8em]
d_1(z)&=\alpha +i\beta +(1-\alpha-i\beta)(x+iy)\\[.8em]
&=\bigl(\alpha +(1-\alpha)x +\beta y \bigr)
+i\bigl( \beta+(1-\alpha)y-\beta x \bigr)
\enar\right.\]


avec $a=\dfrac12+\dfrac12i$

Variation: courbe de Lévy en sinus

On peut modifier par exemple la deuxième fonction en utilisant un sinus:
\[f_2(x,y)=\lp\sin\lp\dfrac{x+y}{2}+\dfrac12\rp,\sin\lp-\dfrac{x-y}{2}+\dfrac12\rp\rp\]



Variationd'un IFS


Plus généralement, toute fonction $V$ contractante permet de faire une variation d'un IFS, en composant $V$ avec une, ou plusieurs, fonction de l'IFS.
Précédemment, on a utilisé la fontion $V(x,y)=\left( \sin x,\sin y\rp$, composée avec la deuxième fonction de l'IFS.

Voir aussi: