Fractale de Sierpinski

IFS: construction récursive

Le triangle, ou fractale, de Sierpiński peut s'obtenir de nombreuses façons.
Il s'agit d'un attracteur.

IFS

On constuit la suite d'ensembles de points

telle que

, puis, pour tout entier

$M_{n+1}=F\left( M_n\rp$

Le point

est ici choisi aléatoirement; c'est le point, en rouge, qui apparaît en choisisant 0 itération.

La figure fractale de Sierpiński est l'attracteur (ou limite) de cette suite d'ensemble de points. Elle apparaît clairement en augmentant le nombre d'itérations.

Les détails, théoriques, mathématiques, et algorithmiques, peuvent être trouvés sur cette page.

Fonctions de l'IFS

Le triangle de Sierpiński se construit à partir d'un triangle

, par exemple

et des trois fonctions associées:

$\la\begin{array}{ll} f_1(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em] f_2(x,y)&=\lp\dfrac{x+1}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em] f_3(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y+1}{2}\right) \enar\right.$

Géométriquement, si

, alors le point image $M'\left( f_1(x,y)\rp$ est le milieu de

, $M'\left( f_2(x,y)\rp$ est le milieu de

, et $M'\left( f_3(x,y)\rp$ est le milieu de

.
Ce sont trois homothéties de rapport $\dfrac12$ , donc contractantes de même rapport.

Autre méthode de génération

On trouve cette figure fractale de manière assez inattendue dans le triangle de Pascal

L'algorithme utilisé ici peut se trouver être, pour d'autres constructions, inadapté, voir là à ce sujet.
Le jeu du chaos est une méthode de construction d'un IFS. Le triangle de Sierpiński se construit donc aussi ainsi

.

Ce jeu du chaos permet bien d'autres constructions; on peut par exemple très simplement l'utiliser dans un polygone

voire modifier facilement ses règles de constructions et obtenir d'autres figures ayant la même propriété fractale: "interdire une zone" (qui se retrouve alors dans le motif fractal)

ou influer sur la succession aléatoire des sommets