@ccueil Seconde

Triangle de Pascal & fractale de Sierpinski

Le triangle de Pascal recèle bien des surprises; on le trouve et le retrouve dans des situations plus ou moins inattendues.
Un nouvel exemple ici, où on s'aperçoit que dans ce triangle se trouve également le triangle fractal de Sierpiński. Il suffit, pour le voir apparaître, de l'écrire en binaire (ou modulo 2).

Triangle de Pascal décimal

Le triangle de Pascal contient les coefficients binomiaux. Chacun s'obtient en ajoutant le terme au-dessus de lui et celui au-dessus à gauche.
La première ligne du triangle est composée de deux 1.



Triangle de Pascal binaire

On construit ici le même triangle, mais en binaire, ou modulo 2.
Chaque terme s'obtient toujours en ajoutant celui qui lui est au-dessus et celui au-dessus à gauche. En binaire, on utilise alors simplement les règles: 0+0=0 et 0+1=1+0=1 bien sûr et 1+1=0  [2].

Remarque: Il semble en théorie équivalent de calculer les coefficients binaires du triangle de Pascal en le construisant dès le début en binaire ou en utilisant le triangle avec ses coefficients décimaux et de les remplacer par 0 s'ils sonts pairs ou 1 s'ils sont impairs.
En pratique cette deuxième méthode ne marche pas car les coefficients deviennent rapidement très grands et la taille des nombres utilisés numériquement est limitée. Par exemple, n=1234567 est impair mais si on se limite à 4 chiffres dans notre représentation, n=1,234.106 est pair…

Triangle de Pascal & de Sierpinski

En image, chaque 0 étant un pixel noir et un blanc pour un 1, le triangle précédent devient:




Voir aussi: