@ccueil Seconde

Fractale de Sierpinski

Construction aléatoire: jeu du chaos

Le triangle, ou fractale, de Sierpiński peut s'obtenir de nombreuses façons.
Le jeu du chaos est utilisé ici; deux fonctions sont utilisées.
On part d'un point au hasard et on construit un nouveau point en lui appliquant, au hasard une de ces deux fonctions, puis on recommence on appliquant à ce nouveau point une des deux fonctions à nouveau tirée au hasard, et ainsi de suite…


Fractale de Sierpinski

Fonctions de l'IFS

Le triangle de Sierpiński se construit à partir d'un triangle $ABC$, par exemple $A(0,0)$, $B(1,0)$ et $C(0,1)$ et des trois fonctions associées:

\[\la\begin{array}{ll}
f_1(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em]
f_2(x,y)&=\lp\dfrac{x+1}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em]
f_3(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y+1}{2}\right)
\enar\right.\]


Géométriquement, si $M(x,y)$, alors le point image $M'\left( f_1(x,y)\rp$ est le milieu de $[MA]$, $M'\left( f_2(x,y)\rp$ est le milieu de $[MB]$, et $M'\left( f_3(x,y)\rp$ est le milieu de $[MC]$.
Ce sont trois homothéties de rapport $\dfrac12$, donc contractantes de même rapport.

Autre méthode de génération

On trouve aussi cette figure fractale de manière assez inattendue dans le triangle de Pascal

L'algorithme utilisé ici est une méthode de construction de l'attracteur d'un IFS. On peut construire cet attracteur par une méthode directe convergente (certes, mais méfiance quand même) .

Le jeu du chaos utilisé ici permet bien d'autres constructions; on peut par exemple très simplement l'utiliser dans un polygone voire modifier facilement ses règles de constructions et obtenir d'autres figures ayant la même propriété fractale:


Voir aussi: