Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\setcounter{equation}{0}\setcounter{subsection}{0}
\section*{ \underline{TP \arabic{ntp} :} #1}
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\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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% grec et autres
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\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Matlab/}}
\rfoot{Simulation de la diffusion thermique - \thepage/\pageref{LastPage}}
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%%
\noindent
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\setcounter{ntp}{7}
\ChapTitle{TP}{\thentp}{Simulation de la diffusion thermique\linebreak dans un matériau}
\addcontentsline{toc}{section}{TP \arabic{ntp}: Simulation de la diffusion thermique dans un matériau}
\setcounter{subsection}{0}
L'objectif de ce TP est la simulation de la diffusion thermique
dans un milieu.
\vsp
On suppose ce milieu 1-dimensionel
(un câble par exemple), pour simplifier l'étude.
On décrit ainsi géométriquement ce milieu par le segment $[ 0 , L]$.
Le problème est le suivant: on impose une température fixée et
constante aux deux extémités, $T_0$ en $x=0$ et $T_L$ en $x=L$,
du milieu supposé à température nulle initialement,
et éventuellement la présence d'une source de chaleur décrite par
une fonction $f(x)$ indépendante du temps, ou une fonction $f(x,t)$
dépendante du temps.
\vsp
Dans ces conditions, on peut chercher à répondre aux questions,
\vspd
\bgit
\item Quel est le profil de température final dans le milieu
(i.e. quelle est la température $T(x)$ pour $x\in [0,L]$ pour
un temps assez grand) ?
\vspd
\item Comment évolue le profil de température en fonction du temps,
depuis la température nulle imposée initialement jusqu'au profil
final calculé précédemment ?
\vspd
\item Comment détecter l'éventuelle présence d'une source de chaleur
à l'intérieur du milieu ?
\enit
\paragraph{Modélisation du problème}
On note $T(x,t)$ la température dans le milieu à l'abscisse $x$ et à
l'instant $t$, $x\in[0;L]$ et $t\in[0;+\infty[$.
\vsp
La diffusion thermique dans un milieu est régie par l'équation
dite ``de la chaleur'':
\bge\label{EqChaleur}
\frac{\partial T}{\partial t} -
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = f(x,t),
\ene
où $f(x,t)$, éventuellement $f(x,t)=f(x)$ est indépendante du temps,
est la source de chaleur fournie au milieu au cours du temps.
\stepcounter{subsection}
\subsection*{\arabic{subsection}.\hspace{0.2cm} Approximation du profil de température à l'équilibre}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\arabic{subsection}. Approximation du profil de température à l'équilibre}
On suppose dans ce paragraphe que la source de chaleur est
indépendante du temps: $f(x,t)=f(x)$.
On cherche alors à résoudre numériquement l'équation de la chaleur
(\ref{EqChaleur}) en régime
stationnaire (à l'équilibre); cela revient à considérer que la
température ne varie plus en fonction du temps, et que, par
conséquent, $\frac{\partial T}{\partial t}=0$ : la fonction
température n'est plus qu'une fonction d'une seule variable $T(x)$.
Dans ce cas l'équation de la chaleur (\ref{EqChaleur}) est une
équation différentielle du second ordre à coefficient constant:
\[ T''(x)=f(x) \,.
\]
Selon la fonction source $f$ que l'on impose, on sait résoudre
théoriquement cette équation.
Le but de la simulation est néanmoins double:
\bgit
\item s'assurer que le code programmé fonctionne correctement, ce qui
est possible dans ce cas car on connaît la solution attendue;
\item calculer numériquement la solution de cette équation même
lorsque le second membre $f$ ne permet pas de le faire théoriquement.
\enit
\paragraph{Discrétisation}
On discrétise le segment $[0,L]$ par $N_x$ segments
de longueur identique $\delta_x=L/N_x$:
\ \ $[0;L]\ \to \ [0:\delta_x : L]$.
On a ainsi échantillonné le segment $[0;L]$ en $N_x+1$ points
$x_n=n \delta_x$.
On cherche alors évaluer la température à chacun de ces points.
On note pour cela :
\[ T_n = T(n\delta_x) \,.
\]
La formule de Taylor à l'ordre 2 nous donne, dans la limite où le pas
$\delta_x$ est supposé assez petit,
\[ T_{n+1}=T((n+1)\delta_x)
\sim T(n\delta_x) + \delta_x \frac{{\it d}T}{\it dx}(n\delta_x)
+\frac{\delta_x^2}{2}\frac{{\it d^2}T}{{\it dx}^2}(n\delta_x) \,,
\]
soit
\[ T_{n+1} \sim T_n + \delta_x \frac{{\it d}T_n}{\it dx}
+\frac{\delta_x^2}{2}\frac{{\it d^2}T_n}{{\it dx}^2}\,.
\]
De même, on a
\[ T_{n-1} \sim T_n - \delta_x \frac{{\it d}T_n}{\it dx}
+\frac{\delta_x^2}{2}\frac{{\it d^2}T_n}{{\it dx}^2}\,,
\]
puis, après addition de ces deux relations,
\[ \frac{{\it d^2}T}{{\it dx}^2} \sim
\frac{T_{n+1}+T_{n-1}-2T_n}{\delta_x^2}
\]
Si on pose alors $f_n=f(n\delta_x)$, on obtient alors la relation
de récurrence:
\bge \label{RecStat}
T_{n+1}=\delta_x f_n + 2T_n-T_{n-1}
\ene
\bgsk
On pourra prendre comme données initiales:
\[ T_1=\alpha\ \mbox{(une température en degré)}
\mbox{ et, }
T_2=T_1\ \mbox{ (pas de vitesse intiale de propagation)}
\]
On remarque qu'avec ce modèle statique, on ne peut pas imposer une
température aux deux extrémités à la fois du milieu: la relation de
récurrence (\ref{RecStat}) permet en effet de calculer toutes les
températures de proche en proche à partir de $T_0$ et $T_1$.
\stepcounter{subsection}
\subsection*{\arabic{subsection}.\hspace{0.2cm} Diffusion thermique - Evolution temporelle du profil de température}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\arabic{subsection}. Diffusion thermique - Evolution temporelle du profil de température}
On cherche maintenant à étudier l'évolution du profil de température
au cours du temps: le terme $\frac{\partial T}{\partial t}$ n'est plus
nul et la température est fonction à la fois de l'abscisse $x$ et du
temps $t$, $T(x,t)$.
\vsp
La discrétisation en $x$ se fait comme précédemment en $N_x+1$ points,
$[0:L]\ \to\ [0:\delta_x:L]$.
On effectue la même opération sur les temps. On découpe l'intervalle
temporel d'étude $[0;\Delta_t]$ en $N_t+1$ points :
$[0:\Delta_t]\ \to\ [0:\delta_t:\Delta_t]$.
\vsp\noindent
On note alors, $\dsp T_{i,j}=T(i\delta_x,j\delta_t)$, et de même pour
la source de chaleur: $\dsp f_{i,j}=f(i\delta_x,j\delta_t)$.
La discrétisation de la dérivée seconde par rapport à $x$ peut se
faire identiquement à celle utilisée précédemment.
De la même façon, la dérivée par rapport au temps peut-être approchée
par
\[ \frac{\partial T}{\partial t} \sim
\frac{T_{i+1,j}-T_{i,j}}{\delta_t}.
\]
On obtient alors la nouvelle relation de récurrence:
\bge
T_{i,n+1}=T_{i,n}+\delta_t f_{i,n}+
\frac{\delta_t}{\delta_x^2}
\lp
T_{i+1,n}+T_{i-1,n}-2T_{i,n}
\rp
\ene
à laquelle il faut ajouter les conditions en $x=0$ et $x=L$:
\[ T(1,:)=\alpha \ \mbox{ et , } T(end,:)=\beta
\]
où $\alpha$ est donc la température en $x=0$ et $\beta$ celle en
$x=L$.
\paragraph{Application numérique}
On pourra prendre les valeurs numériques (pour commencer\dots)
suivantes:
$L=1$, $\delta_x=0.1$, $\delta_t=0.0001$, $\alpha=0$, $\beta=100$,
$f(x)=\dots$ au choix: toute fonction définie sur $[0;L]$.
\label{LastPage}
\end{document}
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