Source Latex
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\textwidth=18cm
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\evensidemargin=0cm
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3cm}
\ct
{\Large{\bf D�bruitage d'un signal par FFT}}
\vspace{0.5cm}
\hspace{-1.5cm}
$\longrightarrow$\fbox{
\raisebox{0.cm}[0.6cm]{
\bgmp{18cm}
{\it Le but de ce TP est de mettre en \oe uvre une m�thode de
filtrage par transform�e de Fourier, puis d'�tudier son
efficacit�.}
\enmp}}
\vspq
\bgit
\item[1)] {\bf Transform�e de Fourier et transform�e inverse}
\vspd
G�n�rer un signal sinuso�dal de fr�quence $f=10$ Hz d'une dur�e de
1s.
\vspd
Sur une figure � trois cadrans, repr�senter:
\vsp
\bgit
\item le signal \vsp
\item sa transform�e de Fourier (\it{fft}) \vsp
\item la transform�e de Fourier inverse (\it{ifft}): on retrouve
exactement le signal de d�part.
\enit
\vspq
\item[2)] {\bf Bruit blanc}
G�n�rer un bruit blanc (signal al�atoire et de moyenne nulle,
cf. {\it rand}) de la m�me taille que le signal sinuso�dal
pr�c�dent.
Repr�senter sur une figure � 2 cadrans le bruit et son spectre.
Comparer l'amplitude du spectre du signal � l'amplitude du spectre
du bruit blanc. Commenter.
\vspq
\item[3)] {\bf Bruitage du signal}
\vspd
Ajouter au signal initial un bruit al�atoire d'amplitude 50\%
celle du signal de d�part.
Repr�senter ce signal bruit�.
\vspq
\item[4)] {\bf Filtrage par FFT}
\vspd
Rep�rer l'amplitude maximale $M$ de la transform�e de Fourier.
D�finir un seuil $S$ (10\% par exemple).
\vspd
Cr�er un filtre $F$ selon les caract�ristiques:
\bgit
\item $F$ a la m�me taille que le signal (ou sa transform�e de
Fourier) \vsp
\item lorsque l'amplitude de la FFT est plus petite que $S\tm M$ le
filtre vaut 0, et vaut 1 sinon.
\enit
\vspd
Il ne reste plus alors qu'� appliquer le filtre � la FFT du signal
(multiplication terme � terme du filtre par la FFT), et finalement
� prendre la transform�e de Fourier inverse.
\vspd
Retrouve-t-on le signal de d�part, sans le bruit additionnel ?
\vspq
\item[5)] {\bf Efficacit� de la m�thode}
\vspd
\bgit
\item[a)] Recommencer les simulations en variant les diff�rents
param�tres (amplitude du bruit, seuil du filtre).
\vspd
\item[b)] Jusqu'� quel niveau de bruit le filtrage reste-t-il
efficace ?
\vspd
\item[c)] Recommencer les simulations avec des signaux initiaux
plus complexes, par exemple avec le signal:
\[ s(t) = \cos(2\pi f_1 t)
+ 3\cos(2\pi f_2 t)
- 6\cos(2\pi f_3 t)
\]
o�, $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont trois fr�quences diff�rentes
(par exemple, $f_1=10$ Hz, $f_2=55$ Hz et $f_3=122$ Hz).
\enit
\vspq
\item[6)] {\bf Spectre du signal}
Reprendre les calculs de FFT pr�c�dents en affichant sur une
figure � trois cadrans:
\vspd
\bgit
\item le signal dans le domaine temporel, avec l'�chelle en temps
correcte,
\vspd
\item le spectre du signal calcul� par Matlab ({\it fft}), avec
l'�chelle fr�quentielle correcte,
\vspd
\item le spectre r�el du signal ({\it fftshift}), avec l'�chelle
fr�quentielle correcte.
\enit
\vspd
Retrouve-t-on les fr�quences effectivement contenues dans le
signal ?
Avec quelle pr�cision ?
\enit
\end{document}
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