Source Latex: TP de mathématiques en Post-bac


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Description
Débruitage d'un signal par FFT
Niveau
Post-bac
Table des matières
  • Transformée de Fourier et transformée inverse
  • Bruit blanc
  • Bruitage d'un signal
  • Filtrage par FFT
  • Efficacité de la méthode
  • Spectre du signal
Mots clé
convolution, fourier, fft, dualité temps/signal
Voir aussi:

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Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{tabularx}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-3cm}

\ct
{\Large{\bf D�bruitage d'un signal par FFT}}
\vspace{0.5cm}

\hspace{-1.5cm}
$\longrightarrow$\fbox{
  \raisebox{0.cm}[0.6cm]{
    \bgmp{18cm}
	 {\it Le but de ce TP est de mettre en \oe uvre une m�thode de
	   filtrage par transform�e de Fourier, puis d'�tudier son
	   efficacit�.}
	 \enmp}} 

\vspq
\bgit
  \item[1)] {\bf Transform�e de Fourier et transform�e inverse}

    \vspd
    G�n�rer un signal sinuso�dal de fr�quence $f=10$ Hz d'une dur�e de
    1s. 

    \vspd
    Sur une figure � trois cadrans, repr�senter: 

    \vsp
    \bgit
      \item le signal \vsp
      \item sa transform�e de Fourier (\it{fft}) \vsp
      \item la transform�e de Fourier inverse (\it{ifft}): on retrouve
	exactement le signal de d�part.
    \enit

    \vspq

  \item[2)] {\bf Bruit blanc}

    G�n�rer un bruit blanc (signal al�atoire et de moyenne nulle,
    cf. {\it rand}) de la m�me taille que le signal sinuso�dal
    pr�c�dent.  

    Repr�senter sur une figure � 2 cadrans le bruit et son spectre. 

    Comparer l'amplitude du spectre du signal � l'amplitude du spectre
    du bruit blanc. Commenter. 

    \vspq
  \item[3)] {\bf Bruitage du signal}

    \vspd
    Ajouter au signal initial un bruit al�atoire d'amplitude 50\%
    celle du signal de d�part.  

    Repr�senter ce signal bruit�. 

    \vspq
  \item[4)] {\bf Filtrage par FFT}

    \vspd
    Rep�rer l'amplitude maximale $M$ de la transform�e de Fourier. 
    D�finir un seuil $S$ (10\% par exemple). 

    \vspd
    Cr�er un filtre $F$ selon les caract�ristiques: 
    \bgit
    \item $F$ a la m�me taille que le signal (ou sa transform�e de
      Fourier) \vsp
    \item lorsque l'amplitude de la FFT est plus petite que $S\tm M$ le
      filtre vaut 0, et vaut 1 sinon. 
    \enit
    
    \vspd
    Il ne reste plus alors qu'� appliquer le filtre � la FFT du signal
    (multiplication terme � terme du filtre par la FFT), et finalement
    � prendre la transform�e de Fourier inverse. 

    \vspd
    Retrouve-t-on le signal de d�part, sans le bruit additionnel ?

    \vspq
  \item[5)] {\bf Efficacit� de la m�thode}
    
    \vspd
    \bgit
      \item[a)] Recommencer les simulations en variant les diff�rents
	param�tres (amplitude du bruit, seuil du filtre). 

	\vspd
      \item[b)] Jusqu'� quel niveau de bruit le filtrage reste-t-il
	efficace ?  
	
	\vspd
      \item[c)] Recommencer les simulations avec des signaux initiaux
	plus complexes, par exemple avec le signal: 
	\[ s(t) = \cos(2\pi f_1 t) 
	          + 3\cos(2\pi f_2 t) 
		  - 6\cos(2\pi f_3 t)
	\]
	o�, $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont trois fr�quences diff�rentes 
	(par exemple, $f_1=10$ Hz, $f_2=55$ Hz et $f_3=122$ Hz). 
    \enit

    \vspq
  \item[6)] {\bf Spectre du signal}

    Reprendre les calculs de FFT pr�c�dents en affichant sur une
    figure � trois cadrans: 

    \vspd
    \bgit
    \item le signal dans le domaine temporel, avec l'�chelle en temps
      correcte, 

      \vspd
    \item le spectre du signal calcul� par Matlab ({\it fft}), avec
      l'�chelle fr�quentielle correcte, 

      \vspd
    \item le spectre r�el du signal ({\it fftshift}), avec l'�chelle
      fr�quentielle correcte. 
    \enit

    \vspd
    Retrouve-t-on les fr�quences effectivement contenues dans le
    signal ? 
    Avec quelle pr�cision ?
\enit




\end{document} 

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