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La propagation d'une onde, acoustique ou électromagnétique, est régie
par l'équation de Helmohltz, pour t > 0 et
, le domaine
géométrique étudié (par exemple, un intervalle pour modéliser une onde se
propageant dans une seule direction, sur une corde par exemple, ou une
surface pour modéliser une membrane vibrante):
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(3.1) |
où c désigne la célérité de l'onde dans le milieu considéré
(
c = 3.108 m.s-1 pour la lumière dans le vide,
ou c = 340 m.s-1 pour le son dans l'air, par exemple),
et la fonction f désigne l'amplitude de l'onde au point
x et à l'instant t.
Cette équation n'est pas suffisante pour décrire complètement la
propagation de l'onde; il faut la compléter de conditions initiales
(état et vitesse de l'onde à l'instant initial t = 0), ainsi que des
conditions au bord (comportement de l'onde lorsqu'elle rencontre les
limites physiques du domaine étudié).
Ces conditions peuvent se formuler suivant:
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(3.2) |
les fonctions h, et g étant des données du problème.
Dans le cas général, c'est-à-dire pour un domaine D quelconque,
on ne sait pas résoudre ces équations, c'est-à-dire qu'on ne sait pas
exprimer explicitement la fonction f solution de ces équations.
On peut néanmoins essayer de calculer de manière approchée les valeurs
de l'amplitude de l'onde f (x, t) en certains
points x et en certains instants t.
C'est ce que l'on appelle
discrétiser le problème.
Les deux cas suivants sont traités par la suite:
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le cas 1-D:
le domaine D est un segment [0 , L]. En d'autres termes,
on étudie la propagation d'une onde sur une corde (de guitare ou de piano par
exemple).
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le cas 2-D:
le domaine D est un rectangle
[0 , L ] x [0 , L' ]
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