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Simulation bidimensionnelle de la propagation d'une onde
Résultats de simulations numériques
- Propagation d'une onde dans une cavité
- Propagation d'une onde en espace libre
- Diffraction par une simple fente
- Diffraction par une double fente
On étudie cette fois la propagation d'une onde en 2 dimensions, ce qui peut correspondre en particulier à la propagation d'une onde dans une cavité, dans l'espace libre, puis sa diffraction à travers une fente.
Cette propagation est régie par l'équation des ondes: si u(x, y, t)
désigne l'amplitude de l'onde au point d'espace de coordonnées (x, y)
et à l'instant t, alors u est solution de l'équation
où,

On cherche une solution approchée de l'équation des ondes en 2-D:
le domaine géométrique dans lequel l'onde peut se propager est
le rectangle
.
On s'interesse alors à l'amplitude de l'onde
pour
,
et
.
Afin de traiter numériquement cette équation, le domaine est découpé
en une grille de calcul:
![$\displaystyle \mbox{$[0 ,L_x] \to [0:\delta_x:L_x] , \
[0 ,L_y] \to [0:\delta_y:L_x] , \
[0 ,T] \to [0:\delta_t:T].$}$](MathAppli/MathAppli/img39.gif)
On notera par la suite nx, ny et nt les nombres de points utilisés pour les discrétisations suivant respectivement l'axe des x, des y, et des temps t.
De même que pour la simulation monodimensionnelle, on pose
, les
,
et
étant des
points de notre grille de calcul.
L'utilisation des formules de Taylor (cf. simulation 1D) nous permet
alors de formuler l'équation des ondes sous forme
discrète selon la relation de récurrence:
où,
=
, et
=
Pour initialiser la relation de récurrence précédente, on suppose que
le milieu est au repos: la vitesse intiale de l'onde est nulle.
Ceci se traduit par
, et donc dans la relation de
récurrence précédente par:
La source est une source sinusoïdale d'amplitude 1 et de fréquence

A chaque itération temporelle, l'amplitude de l'onde doit donc être modifiée suivant:
où, sx = nx/3 et sy = ny/2 désignent les indices de la position (Lx/3, Ly/2) de la source dans notre grille de calcul.
Le domaine de calcul
![$ \mbox{$[0 ,L_x]\times [0 ,L_y]$}$](MathAppli/MathAppli/img56.gif)
On observe alors dans le résultat de nos calculs des réflexions
parasites le long des bords de notre domaine.
Ces réflexions, quoique expliquables physiquement, n'ont pas ici lieu
d'être, la prapagation étant supposée se faire en espace libre (et
donc infini).
Pour pallier cet inconvénient, on peut introduire des conditions dites
absorbantes au bord de notre domaine
(CLA, pour Conditions aux Limites Absorbantes)
, de manière à éliminer ces
réflexions parasites.
Ces conditions absorbantes peuvent être simulées de la manière suivante:
Modélisation de la présence d'un obstacle
On peut simuler la présence d'un obstacle en imposant

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