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Simulation bidimensionnelle de la propagation d'une onde

Résultats de simulations numériques

On étudie cette fois la propagation d'une onde en 2 dimensions, ce qui peut correspondre en particulier à la propagation d'une onde dans une cavité, dans l'espace libre, puis sa diffraction à travers une fente.

Cette propagation est régie par l'équation des ondes: si u(x, y, t) désigne l'amplitude de l'onde au point d'espace de coordonnées (x, y) et à l'instant t, alors u est solution de l'équation

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2 \Delta u = s(x,y,t) \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2 \Delta u = s(x,y,t) \end{array}$

(4.1)

où, $\mbox{$\displaystyle \Delta u= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$}$ désigne le laplacien de u, c la célérité de l'onde dans le milieu, et s(x, y, t) la source.

On cherche une solution approchée de l'équation des ondes en 2-D: le domaine géométrique dans lequel l'onde peut se propager est le rectangle $\mbox{$[0 ,Lx]\times [0 ,Ly]$}$ . On s'interesse alors à l'amplitude de l'onde $\mbox{$u(x,y,t)$}$ pour $\mbox{$x\in[0 ,L_x]$}$ , $\mbox{$y\in[0 ,L_y]$}$ et $\mbox{$t\in[0 ,T]$}$ .

Afin de traiter numériquement cette équation, le domaine est découpé en une grille de calcul:

$\displaystyle \mbox{$[0 ,L_x] \to [0:\delta_x:L_x] , \ [0 ,L_y] \to [0:\delta_y:L_x] , \ [0 ,T] \to [0:\delta_t:T].$}$

On notera par la suite n_x, n_y et n_t les nombres de points utilisés pour les discrétisations suivant respectivement l'axe des x, des y, et des temps t.

De même que pour la simulation monodimensionnelle, on pose $\mbox{$u_{i,j}^k = u(x_i,y_j,t_k)$}$ , les $\mbox{$x_i$}$ , $\mbox{$y_j$}$ et $\mbox{$t_k$}$ étant des points de notre grille de calcul.

L'utilisation des formules de Taylor (cf. simulation 1D) nous permet alors de formuler l'équation des ondes sous forme discrète selon la relation de récurrence:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ll} u_{i,j}^{k+1}=2u_{i,j}^k-u_{i,j... ...+\gamma_y\left[u_{i,j-1}^k +u_{i,j+1}^k -2 u_{i,j}^k\right] \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll} u_{i,j}^{k+1}=2u_{i,j}^k-u_{i,j}^{k-1} +\gamma_... ...\right] +\gamma_y\left[u_{i,j-1}^k +u_{i,j+1}^k -2 u_{i,j}^k\right] \end{array}$

(4.2)

où, $\displaystyle \gamma_{x}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{c^2\delta_t^2}}{{\delta_x^2}}}$ , et $\displaystyle \gamma_{y}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{c^2\delta_t^2}}{{\delta_y^2}}}$

Pour initialiser la relation de récurrence précédente, on suppose que le milieu est au repos: la vitesse intiale de l'onde est nulle.

Ceci se traduit par $\mbox{$u_{i,j}^2=u_{i,j}^1$}$ , et donc dans la relation de récurrence précédente par:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ll} u_{i,j}^2=u_{i,j}^1 +\frac{\gam... ...mma_y}{2}\left[u_{i,j-1}^1 +u_{i,j+1}^1 -2 u_{i,j}^1\right] \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll} u_{i,j}^2=u_{i,j}^1 +\frac{\gamma_x}{2}\left[u_... ...frac{\gamma_y}{2}\left[u_{i,j-1}^1 +u_{i,j+1}^1 -2 u_{i,j}^1\right] \end{array}$

(4.3)

La source est une source sinusoïdale d'amplitude 1 et de fréquence $\mbox{$\nu=2$}$ Hz, située en (L_x/3, L_y/2).

A chaque itération temporelle, l'amplitude de l'onde doit donc être modifiée suivant:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ll} u_{s_x,s_y}^{k+1}=u_{s_x,s_y}^k+ \sin(2\pi\nu k \delta_t) \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll} u_{s_x,s_y}^{k+1}=u_{s_x,s_y}^k+ \sin(2\pi\nu k \delta_t) \end{array}$

(4.4)

où, s_x = n_x/3 et s_y = n_y/2 désignent les indices de la position (L_x/3, L_y/2) de la source dans notre grille de calcul.

Le domaine de calcul $\mbox{$[0 ,L_x]\times [0 ,L_y]$}$ a été introduit ici artificiellement: l'équation des ondes est valable dans tout l'espace (espace libre); néanmoins les calculs numériques requièrent une délimitation de ce domaine.

On observe alors dans le résultat de nos calculs des réflexions parasites le long des bords de notre domaine. Ces réflexions, quoique expliquables physiquement, n'ont pas ici lieu d'être, la prapagation étant supposée se faire en espace libre (et donc infini).

Pour pallier cet inconvénient, on peut introduire des conditions dites absorbantes au bord de notre domaine (CLA, pour Conditions aux Limites Absorbantes) , de manière à éliminer ces réflexions parasites.

Ces conditions absorbantes peuvent être simulées de la manière suivante:

$\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{lcl} u(1, : ,k+1) &= &u(2, : ,k) u(n_x, : ,k+1)&= &u(n_x-1, : ,k) \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lcl} u(1, : ,k+1) &= &u(2, : ,k) u(n_x, : ,k+1)&= &u(n_x-1, : ,k) \end{array}$ $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{lcl} u( : ,1,k+1) &= &u( : ,2,k) u( : ,n_y,k+1)&= &u( : ,n_y-1,k) \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lcl} u( : ,1,k+1) &= &u( : ,2,k) u( : ,n_y,k+1)&= &u( : ,n_y-1,k) \end{array}$

(4.5)

Modélisation de la présence d'un obstacle
On peut simuler la présence d'un obstacle en imposant $\mbox{$u_{i,j}^k=0$}$ pour tout k (tout instant), et pour des indices i et j correspond à la position de l'obstacle.
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