Repérage dans le plan - Vecteurs et calculs vectoriels



Lecture graphique de coordonnées de points et de vecteurs

Exercice 1: coordonnées de points et de vecteurs
On considère les points A, B, C, D, E et F représentés dans le repère orthonormal ci-dessous.

Votre navigateur ne semble pas assez récent pour afficher ce graphique...



Compléter les coordonnées des points:

A ( ; )  −  B ( ; )  −  C ( ; )  −  D ( ; )  −  E ( ; )  −  F ( ; )    




Compléter les coordonnées des vecteurs:

AB ( ; )  −  ED ( ; )  −  CE ( ; )  −  FC ( ; )  −  DA ( ; )  −  EB ( ; )    



Calculs sur les coordonnées

Le plan est rapporté au repère (O ; i , j  ).
Propriété
Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées:
u = v   ⇔   x = x' y = y'

Propriété

Exercice 2:
Soit les vecteurs u (3 ; −2) v (6 ; −4).
Déterminer les coordonnées du vecteur w = 3u − 2v.
D'après la propriété précédente, avec
u (3 ; −2) v (6 ; −4)
le vecteur w = 3u2v a pour coordonnées:
w (3×32×6 ; 3×(−2)2×(−4))
soit
w ( −3 ; 2 )


Propriété
Si A et B sont deux points de coordonnées (xA ; yA) et (xB ; yB) alors,

Exercice 3:
Soit les points A(4;5) et B(−2;1) dans un repère orthonormal (O ; i , j  ).
  1. Déterminer les coordonnées du vecteur AB.
  2. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment AB.
  3. Calculer la longueur AB.

  1. On a AB (−2−4 ; 1−5), soit AB (−6 ; −4).
  2. Le milieu a pour coordonnées I 4 + (−2)/2 ; 5 + 1/2 soit I (1;3).
  3. AB = (−2−4)2 + (1−5)2 = 52 = 213


Colinéarité

Le plan est rapporté au repère (O ; i , j  ).
Définition
Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
Votre navigateur ne semble pas assez récent pour afficher ce graphique...
Les droites D et D', et les vecteurs u et v sont colinéaires.



Propriété
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils sont proportionnels: u = kv, soit donc aussi si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple: u(3;−2) et v(6;−4) sont colinéaires car u = 2v.
Des vecteurs colinéaires sont donc des vecteurs dont les coordonnées sont proportionnelles. Le produit en croix permet alors justement de caractériser cette proportionnalité:


Propriété
Les vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si et seulement si xy' = x'y ou, de manière équivalente, si xy' − x'y = 0

Définition
On appelle déterminant des vecteurs u(x;y) et v(x';y') le nombre
det (u , v) = xy' − x'y
On a donc, en résumé:
u et v colinéaires ⇔ det (u , v) = 0

Exemple: Les vecteurs u(3;−2) et v(6;−4) sont colinéaires car
det (u , v) = 3×(−4) − (−2)×6 = −12 + 12 = 0



Exercice 4:
Les vecteurs u(−5;4) et v(−15;12) sont-ils colinéaires ?
Oui.
Le déterminant (produit en croix) donne:
det (u , v) = −5×12 − 4×(−15) = −60 + 60 = 0
ce qui montre bien que les coordonnées de ces vecteurs sont proportionnelles, et donc que les vecteurs sont colinéaires.


Exercice 5:
Soit A(−2; 6), B(3; −4), C(8; 1) et D(−2; 21)
Les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires ?

On calcule les coordonnées de ces deux vecteurs:
AB (3−(−2) ; −4−6)
soit
AB (5; −10)
et
CD (−2−8 ; 21−1)
soit
CD (−10; 20)

On calcule ensuite le déterminant
det (AB , CD) = 5×20 − (−10)×(−10) = 100 − 100 = 0
qui montre que ces deux vecteurs sont colinéaires.



Propriété


Exercice 6:
Soit A(−2; 6), B(3; −4), C(8; 1) et D(−2; 21)
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Les calculs de l'exercice 5 montrent que les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont bien parallèles.



Exercice 7:
Soit les points A(−2; 6), B(3; −4) et C(13; −24).
Ces trois points sont ils alignés ?

On calcule les coordonnées de ces deux vecteurs:
AB (3−(−2) ; −4−6)
soit
AB (5; −10)
et
AC (13−(−2) ; −24−6)
soit
AC (15; −30)

On calcule ensuite le déterminant
det (AB , AC) = 5×(−30) − (−10)×15 = −150 + 150 = 0
qui montre que ces deux vecteurs sont colinéaires et donc que les points A, B et C sont alignés.