Repérage dans le plan - Vecteurs et calculs vectoriels
Lecture graphique de coordonnées de points et de vecteurs
Exercice 1: coordonnées de points et de vecteurs
On considère les points
A,
B,
C,
D,
E et
F représentés dans le repère orthonormal ci-dessous.
Compléter les coordonnées des points:
A ( ; ) − B ( ; ) − C ( ; ) − D ( ; ) − E ( ; ) − F ( ; )
Compléter les coordonnées des vecteurs:
AB ( ; ) − ED ( ; ) − CE ( ; ) − FC ( ; ) − DA ( ; ) − EB ( ; )
Calculs sur les coordonnées
Le plan est rapporté au repère (O ; i , j ).Propriété
Deux vecteurs u(x ; y)
et v(x' ; y')
sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées:
u = v
⇔
x = x'
y = y'
Propriété
- Si u a pour coordonnées (x ; y) et v a pour coordonnées (x' ; y'), alors u + v a pour coordonnées (x+x' ; y+y')
- Le vecteur ku a pour coordonnées (kx ; ky).
Exercice 2:
Soit les vecteurs u (3 ; −2)
v (6 ; −4).
Déterminer les coordonnées du vecteur w = 3u − 2v.
D'après la propriété précédente,
avec
u (3 ; −2)
v (6 ; −4)
le vecteur w = 3u − 2v a pour coordonnées:
w (3×3−2×6 ;
3×(−2)−2×(−4))
soit
w (
−3 ; 2
)
Propriété
Si A et B
sont deux points de coordonnées
(xA ; yA)
et
(xB ; yB)
alors,
- AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA)
- le milieu I de [AB] a pour coordonnées xA + xB2 ; yA + yB2
- si le repère (O ; i , j )
est orthonormal, alors la longueur du vecteur AB
est
AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2
Exercice 3:
Soit les points A(4;5) et B(−2;1)
dans un repère orthonormal (O ; i , j ).
- Déterminer les coordonnées du vecteur AB.
- Déterminer les coordonnées du milieu I du segment AB.
- Calculer la longueur AB.
- On a AB (−2−4 ; 1−5), soit AB (−6 ; −4).
- Le milieu a pour coordonnées I 4 + (−2)2 ; 5 + 12 soit I (1;3).
- AB = (−2−4)2 + (1−5)2 = 52 = 213
Colinéarité
Le plan est rapporté au repère (O ; i , j ).Définition
Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
Propriété
Deux vecteurs u et v
sont colinéaires si et seulement si ils sont proportionnels:
u = kv,
soit donc aussi si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Exemple: u(3;−2) et v(6;−4) sont colinéaires car u = 2v.
Des vecteurs colinéaires sont donc des vecteurs dont les coordonnées sont proportionnelles. Le produit en croix permet alors justement de caractériser cette proportionnalité:
Propriété
Les vecteurs
u(x;y) et v(x';y')
sont colinéaires si et seulement si
xy' = x'y
ou, de manière équivalente, si
xy' − x'y = 0
Définition
On appelle déterminant des vecteurs
u(x;y) et v(x';y') le nombre
det (u , v)
= xy' − x'y
On a donc, en résumé:
u et v colinéaires
⇔
det (u , v) = 0
Exemple: Les vecteurs u(3;−2) et v(6;−4) sont colinéaires car
det (u , v)
= 3×(−4) − (−2)×6
= −12 + 12 = 0
Exercice 4:
Les vecteurs
u(−5;4) et v(−15;12)
sont-ils colinéaires ?
Oui.
Le déterminant (produit en croix) donne:
Le déterminant (produit en croix) donne:
det (u , v)
= −5×12 − 4×(−15)
= −60 + 60 = 0
ce qui montre bien que les coordonnées de ces vecteurs sont
proportionnelles, et donc que les vecteurs sont colinéaires.
Exercice 5:
Soit A(−2; 6), B(3; −4), C(8; 1) et D(−2; 21)
Les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires ?
On calcule les coordonnées de ces deux vecteurs:
On calcule ensuite le déterminant
AB (3−(−2) ; −4−6)
soit
AB (5; −10)
et
CD (−2−8 ; 21−1)
soit
CD (−10; 20)
On calcule ensuite le déterminant
det (AB , CD)
= 5×20 − (−10)×(−10)
= 100 − 100 = 0
qui montre que ces deux vecteurs sont colinéaires.
Propriété
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
- Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Exercice 6:
Soit A(−2; 6), B(3; −4), C(8; 1) et D(−2; 21)
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Les calculs de l'exercice 5 montrent que les vecteurs AB
et CD sont colinéaires.
Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont bien parallèles.
Exercice 7:
Soit les points A(−2; 6), B(3; −4) et C(13; −24).
Ces trois points sont ils alignés ?
On calcule les coordonnées de ces deux vecteurs:
On calcule ensuite le déterminant
AB (3−(−2) ; −4−6)
soit
AB (5; −10)
et
AC (13−(−2) ; −24−6)
soit
AC (15; −30)
On calcule ensuite le déterminant
det (AB , AC)
= 5×(−30) − (−10)×15
= −150 + 150 = 0
qui montre que ces deux vecteurs sont colinéaires et donc que les points
A, B et C sont alignés.