Fonctions et calcul alg├ębrique

Position relative de deux courbes


On considère les fonctions $ \displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{2}x^2$ et $ \displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{x+1}$ .
Le but de l'exercice est de comparer les positions des courbes $ \mathcal{C}_f$ et $ \mathcal{C}_g$ représentatives des fonctions $ f$ et $ g$ .


1) Déterminer l'ensemble de définition des fonctions $ f$ et $ g$ .
2) Montrer que, pour tout nombre $ x$ réel, $ x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2)$ .
3) Montrer que pour tout nombre $ x$ réel, $ x^2+2x+2=(x+1)^2+1$ .

En déduire le signe de l'expression $ x^2+2x+2$ .

4) A l'aide de ce qui précède, déterminer la position relative des courbes $ \mathcal{C}_f$ et $ \mathcal{C}_g$ .

Solution:


1) Dans l'expression de $ f(x)$ , $ x$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle: $ \mathcal{D}_f={\rm I\kern-.1567em R}$ , tandis que pour $ g(x)$ , $ x$ ne doit pas prendre de valeur telle que $ x+1=0$ , soit $ x=-1$ , et donc, $ \mathcal{D}_g={\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-1\right\}$


2) Pour tout réel $ x$ , $ (x-1)(x^2+2x+2) = x^3+2x^2+2x -x^2-2x-2 = x^3+x^2-2$ .


3) Pour tout réel $ x$ , $ (x+1)^2+1=x^2+2x+1+1=x^2+2x+2$ .

Pour tout nombre réel $ x$ , $ (x+1)^2\geq 0$ , et donc $ x^2+2x+2=(x+1)^2+1\geq 1 >0$ .

Ainsi, $ x^2+2x+2$ est toujours strictement positif.


4) Pour comparer les positions des courbes $ \mathcal{C}_f$ et $ \mathcal{C}_g$ , on étudie le signe de $ f(x)-g(x)$ :

$ \displaystyle f(x)-g(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{x+1}=\frac{x^3+x^2-2}{2(x+1)}$

et donc, d'après la question 1), $ \displaystyle f(x)-g(x)=\frac{(x-1)(x^2+2x+2)}{2(x+1)}$ .



$\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline
$x$&$-\infty...
...\mid$}& $-$\ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$\ & \\ \hline
\end{tabular} $

Ainsi, $ \mathcal{C}_f$ est au-dessus de $ \mathcal{C}_g$ lorsque $ x\in]-\infty;-1[\cup[1;+\infty[$ , et au-dessous lorsque $ x\in]-1;1]$ .

Les deux courbes se coupent en $ x=1$ .



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