Fonctions et calcul algébrique

Position relative de deux courbes

Exercice corrigé: Calcul algébrique et étude de la position relative de deux courbes


On considère les fonctions $ \displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{2}x^2$ et $ \displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{x+1}$ .
Le but de l'exercice est de comparer les positions des courbes $ \mathcal{C}_f$ et $ \mathcal{C}_g$ représentatives des fonctions $ f$ et $ g$ .


1) Déterminer l'ensemble de définition des fonctions $ f$ et $ g$ .
2) Montrer que, pour tout nombre $ x$ réel, $ x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2)$ .
3) Montrer que pour tout nombre $ x$ réel, $ x^2+2x+2=(x+1)^2+1$ .

En déduire le signe de l'expression $ x^2+2x+2$ .

4) A l'aide de ce qui précède, déterminer la position relative des courbes $ \mathcal{C}_f$ et $ \mathcal{C}_g$ .

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