Limite de la dérivée d'une fonction bornée
Soit une fonction bornée et dérivable telle que .
Montrer que .
Montrer que .
Correction
Supposons que . On peut supposer par exemple que .
On a donc, par définition de la limite,
En particulier, à partir d'un certain A, on a .
Par exemple en choisissant , il existe tel que, pour tout , on a
On a alors, pour tout , d'après le théorème des accroissements finis,
avec .
Lorsque vers , on trouve que maintenant que tend aussi vers , ce qui est une contradictoire avec le fait qu'elle est bornée.
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Supposons que . On peut supposer par exemple que .
On a donc, par définition de la limite,
En particulier, à partir d'un certain A, on a .
Par exemple en choisissant , il existe tel que, pour tout , on a
On a alors, pour tout , d'après le théorème des accroissements finis,
avec .
Lorsque vers , on trouve que maintenant que tend aussi vers , ce qui est une contradictoire avec le fait qu'elle est bornée.
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Tags:DérivéeRolle - AF
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